1. 已知 a, b in mathbb(R), 求证 ab leq ((a+b)/(2))^2.2. 已知 x, y 都是正数，且 x neq y，求证： (1) (x)/(y) + (y)/(x) > 2; (2) (2xy)/(x+y) < sqrt(xy).3. 当 x 取什么值时，x^2 + (1)/(x^2) 取得最小值？最小值是多少？4. 已知 -1 leq x leq 1，求 1 - x^2 的最大值.5. 已知直角三角形的面积等于 50 , (cm)^2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
1. 已知 $a, b \in \mathbb{R}$, 求证 $ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$. 2. 已知 $x, y$ 都是正数，且 $x \neq y$，求证： (1) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$; (2) $\frac{2xy}{x+y} < \sqrt{xy}$. 3. 当 $x$ 取什么值时，$x^2 + \frac{1}{x^2}$ 取得最小值？最小值是多少？ 4. 已知 $-1 \leq x \leq 1$，求 $1 - x^2$ 的最大值. 5. 已知直角三角形的面积等于 $50 \, \text{cm}^2$，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
题目解答
答案
我们逐题来分析并解答，每一步都用中文详细说明。
1. 已知 $a, b \in \mathbb{R}$，求证：
$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$
解题过程：
我们从右边减去左边，看看是否非负：
$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - ab = \frac{(a+b)^2}{4} - ab = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} - ab$
$= \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{4} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{(a - b)^2}{4}$
由于 $(a - b)^2 \geq 0$，所以 $\frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$，即：
$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - ab \geq 0 \quad \Rightarrow \quad ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$
当且仅当 $a = b$ 时取等号。
结论：
不等式成立，证毕。
2. 已知 $x, y$ 都是正数，且 $x \neq y$，求证：
(1) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$
解题过程：
因为 $x > 0, y > 0$，所以 $\frac{x}{y} > 0$，$\frac{y}{x} > 0$。
我们考虑使用均值不等式（AM ≥ GM）：
$\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} \geq \sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = \sqrt{1} = 1$
两边乘以 2 得：
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$
等号成立当且仅当 $\frac{x}{y} = \frac{y}{x}$，即 $x^2 = y^2$，即 $x = y$（因为正数）
但题目中已知 $x \neq y$，所以等号不成立，即：
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$
结论：
不等式成立，证毕。
(2) $\frac{2xy}{x+y} < \sqrt{xy}$
解题过程：
我们注意到：
- $\frac{2xy}{x+y}$ 是调和平均数（Harmonic Mean）的一半？不对，我们来回忆一下：
对于两个正数 $x, y$，有：
- 调和平均数：$H = \frac{2xy}{x+y}$
- 几何平均数：$G = \sqrt{xy}$
均值不等式告诉我们：调和平均 ≤ 几何平均，且等号当且仅当 $x = y$
即：
$\frac{2xy}{x+y} \leq \sqrt{xy}$
而题目中 $x \neq y$，所以严格小于：
$\frac{2xy}{x+y} < \sqrt{xy}$
结论：
不等式成立，证毕。
3. 当 $x$ 取什么值时，$x^2 + \frac{1}{x^2}$ 取得最小值？最小值是多少？
解题过程：
注意：表达式中有 $\frac{1}{x^2}$，所以 $x \neq 0$。
我们设 $t = x^2 > 0$（因为 $x^2 > 0$，无论 $x$ 正负）
则原式变为：
$f(t) = t + \frac{1}{t}, \quad t > 0$
这是一个经典函数，我们来求它的最小值。
使用均值不等式（AM ≥ GM）：
$t + \frac{1}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2$
等号成立当且仅当 $t = \frac{1}{t} \Rightarrow t^2 = 1 \Rightarrow t = 1$（因为 $t > 0$）
即 $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
结论：
当 $x = \pm 1$ 时，$x^2 + \frac{1}{x^2}$ 取得最小值，最小值为 $\boxed{2}$。
4. 已知 $-1 \leq x \leq 1$，求 $1 - x^2$ 的最大值。
解题过程：
我们分析函数 $f(x) = 1 - x^2$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最大值。
这是一个开口向下的抛物线，顶点在 $x = 0$。
- 当 $x = 0$ 时，$f(0) = 1 - 0 = 1$
- 当 $x = \pm 1$ 时，$f(\pm 1) = 1 - 1 = 0$
所以最大值在 $x = 0$ 处取得。
结论：
最大值是 $\boxed{1}$
5. 已知直角三角形的面积等于 $50\,\text{cm}^2$，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
解题过程：
设两条直角边分别为 $a > 0$，$b > 0$（单位：cm）
面积公式：
$\frac{1}{2}ab = 50 \Rightarrow ab = 100$
我们要求 $a + b$ 的最小值，在 $ab = 100$ 的条件下。
使用均值不等式（AM ≥ GM）：
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} = \sqrt{100} = 10 \Rightarrow a + b \geq 20$
等号成立当且仅当 $a = b$
所以当 $a = b$ 时，$a + b$ 最小。
由 $ab = 100$，且 $a = b$，得：
$a^2 = 100 \Rightarrow a = 10 \quad (\text{取正值}) \Rightarrow b = 10$
所以两条直角边都为 $10\,\text{cm}$ 时，和最小，最小值为 $10 + 10 = 20\,\text{cm}$
结论：
当两条直角边都为 $\boxed{10\,\text{cm}}$ 时，它们的和最小，最小值为 $\boxed{20\,\text{cm}}$。
最终答案汇总：
- 证明：$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$，成立，当且仅当 $a = b$ 时取等。
- (1) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$，成立；
(2) $\frac{2xy}{x+y} < \sqrt{xy}$，成立。 - 当 $x = \pm 1$ 时，$x^2 + \frac{1}{x^2}$ 取得最小值，最小值为 $\boxed{2}$。
- $1 - x^2$ 的最大值是 $\boxed{1}$。
- 当两条直角边都为 $\boxed{10\,\text{cm}}$ 时，和最小，最小值为 $\boxed{20\,\text{cm}}$。