4.设A为3阶方阵，|A|=-(1)/(3)，求(4A)^-1+3A^*|.
题目解答
答案
为了求解 $|(4A)^{-1} + 3A^*|$，我们需要使用矩阵的性质和行列式的性质。让我们一步步来解决这个问题。 1. 计算 $(4A)^{-1}$: 根据矩阵的性质，对于一个可逆矩阵 $A$ 和一个标量 $c$，有 $(cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}$。因此， $(4A)^{-1} = \frac{1}{4}A^{-1}.$ 2. 计算 $A^*$: 矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 与 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 之间有关系 $A^* = |A|A^{-1}$。已知 $|A| = -\frac{1}{3}$，所以 $A^* = -\frac{1}{3}A^{-1}.$ 3. 计算 $3A^*$: 将 $A^*$ 乘以 3，得到 $3A^* = 3 \left( -\frac{1}{3}A^{-1} \right) = -A^{-1}.$ 4. 计算 $(4A)^{-1} + 3A^*$: 将 $(4A)^{-1}$ 和 $3A^*$ 相加，得到 $(4A)^{-1} + 3A^* = \frac{1}{4}A^{-1} + (-A^{-1}) = \left( \frac{1}{4} - 1 \right)A^{-1} = -\frac{3}{4}A^{-1}.$ 5. 计算 $|(4A)^{-1} + 3A^*|$: 根据行列式的性质，对于一个可逆矩阵 $A$ 和一个标量 $c$，有 $|cA| = c^n|A|$，其中 $n$ 是矩阵的阶数。这里 $A^{-1}$ 是一个 3 阶矩阵，所以 $\left| -\frac{3}{4}A^{-1} \right| = \left( -\frac{3}{4} \right)^3 |A^{-1}| = -\frac{27}{64} |A^{-1}|.$ 又因为 $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ 且 $|A| = -\frac{1}{3}$，所以 $|A^{-1}| = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3.$ 因此， $\left| -\frac{3}{4}A^{-1} \right| = -\frac{27}{64} \times (-3) = \frac{81}{64}.$ 所以，最终答案是 $\boxed{\frac{81}{64}}.$
解析
考查要点：本题主要考查矩阵的伴随矩阵、逆矩阵的性质，以及行列式的运算规则。
解题思路：
- 利用伴随矩阵与逆矩阵的关系：$A^* = |A|A^{-1}$，将$A^*$转化为$A^{-1}$的表达式。
- 处理标量乘法的逆矩阵：通过$(cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}$简化$(4A)^{-1}$。
- 合并同类项：将$(4A)^{-1}$与$3A^*$相加，转化为单一矩阵的倍数形式。
- 行列式计算：结合行列式的标量乘法性质$|cA| = c^n|A|$和$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$，逐步代入求解。
步骤1：计算$(4A)^{-1}$
根据矩阵标量乘法的逆矩阵性质：
$(4A)^{-1} = \frac{1}{4}A^{-1}.$
步骤2：计算$A^*$
利用伴随矩阵与逆矩阵的关系：
$A^* = |A|A^{-1} = -\frac{1}{3}A^{-1}.$
步骤3：计算$3A^*$
将$A^*$乘以3：
$3A^* = 3 \left(-\frac{1}{3}A^{-1}\right) = -A^{-1}.$
步骤4：合并$(4A)^{-1} + 3A^*$
将两部分相加：
$(4A)^{-1} + 3A^* = \frac{1}{4}A^{-1} + (-A^{-1}) = \left(\frac{1}{4} - 1\right)A^{-1} = -\frac{3}{4}A^{-1}.$
步骤5：计算行列式
根据行列式的标量乘法性质：
$\begin{aligned}\left| -\frac{3}{4}A^{-1} \right| &= \left(-\frac{3}{4}\right)^3 |A^{-1}| \\&= -\frac{27}{64} \cdot \frac{1}{|A|} \quad (\text{因为} |A^{-1}| = \frac{1}{|A|}) \\&= -\frac{27}{64} \cdot (-3) \quad (\text{代入} |A| = -\frac{1}{3}) \\&= \frac{81}{64}.\end{aligned}$