求函数f(x,y,z)=x+y+z在条件f(x,y,z)=x+y+z下的最大值与最小值。

步骤 1：确定约束条件
函数f(x,y,z)=x+y+z在条件${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3$下，表示三维空间中一个半径为$\sqrt{3}$的球面。

步骤 2：确定函数的极值点
由于f(x,y,z)=x+y+z是线性函数，其在球面上的极值点将出现在球面的边界上。因此，我们需要找到球面上使得f(x,y,z)取最大值和最小值的点。

步骤 3：利用拉格朗日乘数法
为了找到函数f(x,y,z)在约束条件下的极值，我们使用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数：
$$L(x,y,z,\lambda) = x + y + z + \lambda(3 - x^2 - y^2 - z^2)$$
对x,y,z和$\lambda$求偏导数并令其等于0，得到：
$$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - 2\lambda x = 0$$
$$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0$$
$$\frac{\partial L}{\partial z} = 1 - 2\lambda z = 0$$
$$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 3 - x^2 - y^2 - z^2 = 0$$
解这个方程组，得到：
$$x = y = z = \frac{1}{2\lambda}$$
代入约束条件${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3$，得到：
$$3\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^2 = 3$$
解得$\lambda = \pm\frac{1}{2}$，从而得到$x = y = z = \pm1$。

步骤 4：计算极值
当$x = y = z = 1$时，$f(x,y,z) = 3$，为最大值。
当$x = y = z = -1$时，$f(x,y,z) = -3$，为最小值。