题目
对一个5人的学习小组考虑生日问题：(1)求5个人的生日都在星期日的概率。(2)求5个人的生日都不在星期日的概率。(3)求5个人的生日不都在星期日的概率。
对一个5人的学习小组考虑生日问题：
(1)求5个人的生日都在星期日的概率。
(2)求5个人的生日都不在星期日的概率。
(3)求5个人的生日不都在星期日的概率。
题目解答
答案
(1)5个人的生日都在星期日的概率$$p_1=C_5^5$$$$\times (\frac{1}{7})^5=\frac{1}{7^5}$$
(2)5个人的生日都不在星期日的概率$$p_2=C_5^5$$$$\times (1-\frac{1}{7})^5$$$$=\frac{6^5}{7^5}$$
(3)5个人的生日不都在星期日的概率$$p_3=1-p_1=$$$$\frac{7^5-1}{7^5}$$
解析
考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算，涉及二项分布的应用，以及对立事件概率的转化。
解题核心思路：
- 独立事件：每个人的生日选择互不影响，概率相乘。
- 二项分布：计算全部成功或全部不成功的情况时，组合数为1。
- 对立事件：第（3）问通过“1 - 全部成功概率”简化计算。
破题关键点：
- 明确事件类型：区分“全部在星期日”、“全部不在星期日”、“不全部在星期日”。
- 正确应用公式：直接概率相乘或利用对立事件转化。
第（1）题
目标：5人全部生日在星期日的概率。
步骤：
- 单人概率：某人在星期日生日的概率为 $\frac{1}{7}$。
- 独立事件：5人独立选择，概率相乘：
$p_1 = \left( \frac{1}{7} \right)^5 = \frac{1}{7^5}.$
第（2）题
目标：5人全部生日不在星期日的概率。
步骤：
- 单人概率：某人不在星期日生日的概率为 $\frac{6}{7}$。
- 独立事件：5人独立选择，概率相乘：
$p_2 = \left( \frac{6}{7} \right)^5 = \frac{6^5}{7^5}.$
第（3）题
目标：5人不全部在星期日的概率。
步骤：
- 对立事件：直接计算“不全部在星期日”较复杂，转化为“1 - 全部在星期日的概率”：
$p_3 = 1 - p_1 = 1 - \frac{1}{7^5} = \frac{7^5 - 1}{7^5}.$