对数曲线y=lnx上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.

步骤 1：计算一阶导数
对给定的函数 $y = \ln x$，计算其一阶导数 $y'$。
$y' = \dfrac{d}{dx}(\ln x) = \dfrac{1}{x}$

步骤 2：计算二阶导数
计算函数 $y = \ln x$ 的二阶导数 ${y}''$。
${y}'' = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\dfrac{1}{x^2}$

步骤 3：计算曲率
根据曲率公式 $K = \dfrac{|{y}''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$，代入一阶导数和二阶导数的值。
$K = \dfrac{|-\dfrac{1}{x^2}|}{(1 + (\dfrac{1}{x})^2)^{3/2}} = \dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{(1 + \dfrac{1}{x^2})^{3/2}} = \dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{(\dfrac{x^2 + 1}{x^2})^{3/2}} = \dfrac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

步骤 4：计算曲率半径
曲率半径 $\rho$ 为曲率 $K$ 的倒数。
$\rho = \dfrac{1}{K} = (x^2 + 1)^{3/2}$

步骤 5：求曲率半径的最小值
为了找到曲率半径的最小值，我们需要对 $\rho$ 关于 $x$ 求导，并找到导数为零的点。
$\rho' = \dfrac{d}{dx}[(x^2 + 1)^{3/2}] = \dfrac{3}{2}(x^2 + 1)^{1/2} \cdot 2x = 3x(x^2 + 1)^{1/2}$
令 $\rho' = 0$，得到 $x = 0$。但是，由于 $x = 0$ 不在函数 $y = \ln x$ 的定义域内，我们需要考虑 $x > 0$ 的情况。
当 $x > 0$ 时，$\rho'$ 的符号由 $x$ 的符号决定。因此，$\rho$ 在 $x > 0$ 时单调增加。因此，$\rho$ 在 $x > 0$ 的最小值发生在 $x$ 趋近于 $0$ 时。但是，由于 $x = 0$ 不在定义域内，我们需要考虑 $x$ 趋近于 $0$ 时的极限。
$\lim_{x \to 0^+} \rho = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + 1)^{3/2} = 1$

步骤 6：确定最小曲率半径对应的点
由于 $\rho$ 在 $x > 0$ 时单调增加，最小曲率半径发生在 $x$ 趋近于 $0$ 时。但是，由于 $x = 0$ 不在定义域内，我们需要考虑 $x$ 趋近于 $0$ 时的极限。因此，最小曲率半径发生在 $x$ 趋近于 $0$ 时，对应的点为 $(1, 0)$。