下列级数绝对收敛的是()A.sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n+1}(2n+1)B.sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n+1}(2n+1)C.sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n+1}(2n+1)D.sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n+1}(2n+1)

考查要点：本题主要考查级数的绝对收敛性判断，涉及绝对收敛的定义、比较判别法、比值判别法的应用，以及常见级数的收敛性判断。

解题核心思路：

1. 绝对收敛的定义：若级数的绝对值级数收敛，则原级数绝对收敛。
2. 逐项分析：对每个选项写出绝对值级数，分别判断其收敛性。
3. 关键判别法：
   • 比较判别法：与调和级数或已知收敛级数比较。
   • 比值判别法：计算极限判断级数收敛性。

破题关键点：

• 选项B：通过比值判别法判断绝对级数收敛。
• 选项D：利用极限形式的比值判别法，注意$\sin x \approx x$的近似。

选项A

绝对值级数为$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2n+1}$。
比较判别法：
当$n$足够大时，$\dfrac{1}{2n+1} > \dfrac{1}{3n}$，而$\sum \dfrac{1}{n}$发散，故原级数发散。
结论：不绝对收敛。

选项B

绝对值级数为$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^{10}}{2^n}$。
比值判别法：
$\lim_{n \to \infty} \dfrac{(n+1)^{10}/2^{n+1}}{n^{10}/2^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(n+1)^{10}}{2n^{10}} = \dfrac{1}{2} < 1$
结论：绝对级数收敛，故原级数绝对收敛。

选项C

绝对值级数为$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\ln(n+1)}$。
比较判别法：
当$n \geq 2$时，$\ln(n+1) < n$，故$\dfrac{1}{\ln(n+1)} > \dfrac{1}{n}$，而$\sum \dfrac{1}{n}$发散，故原级数发散。
结论：不绝对收敛。

选项D

绝对值级数为$\sum_{n=1}^{\infty} 3^n \sin\left(\dfrac{\pi}{2^n}\right)$。
比值判别法：
当$n$足够大时，$\sin\left(\dfrac{\pi}{2^n}\right) \approx \dfrac{\pi}{2^n}$，故
$\lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1} \cdot \dfrac{\pi}{2^{n+1}}}{3^n \cdot \dfrac{\pi}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} > 1$
结论：绝对级数发散，故原级数不绝对收敛。