题目

设 f(sin x) = cos^2 x + 1，求 f(x).

设 $f(\sin x) = \cos^2 x + 1$，求 $f(x)$.

题目解答

答案

我们已知函数关系是：

$f(\sin x) = \cos^2 x + 1$

我们的目标是求出 $ f(x) $ 的表达式，也就是将右边用 $ \sin x $ 表示，然后替换 $ \sin x $ 为 $ x $，从而得到 $ f(x) $。

第一步：利用三角恒等式

我们知道基本的三角恒等式：

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

将它代入原式：

$f(\sin x) = \cos^2 x + 1 = (1 - \sin^2 x) + 1 = 2 - \sin^2 x$

第二步：变量替换

令 $ u = \sin x $，那么上式变为：

$f(u) = 2 - u^2$

第三步：将变量换回 $ x $

因为函数的自变量是任意的，所以我们可以将 $ u $ 换成 $ x $，得到：

$f(x) = 2 - x^2$

最终答案：

$\boxed{f(x) = 2 - x^2}$

解析

考查要点：本题主要考查函数的定义与三角恒等式的应用，需要将已知函数表达式中的变量替换为自变量，从而确定函数的具体形式。

解题核心思路：

  1. 利用三角恒等式将$\cos^2 x$转换为关于$\sin x$的表达式，从而将原式中的$\cos^2 x + 1$表示为$\sin x$的函数。
  2. 变量替换：将$\sin x$视为整体变量，替换为新的自变量$x$，从而得到$f(x)$的表达式。

破题关键点：

  • 关键恒等式：$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，这是简化表达式的突破口。
  • 函数替换逻辑：明确$f(\sin x)$的定义形式，通过变量替换直接构造$f(x)$。

步骤1：利用三角恒等式转换
已知$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$，将其代入原式：
$f(\sin x) = \cos^2 x + 1 = (1 - \sin^2 x) + 1 = 2 - \sin^2 x.$

步骤2：变量替换
令$u = \sin x$，则原式可改写为：
$f(u) = 2 - u^2.$

步骤3：确定$f(x)$的表达式
将变量$u$替换为$x$，得到：
$f(x) = 2 - x^2.$