题目
【题目】设随机变量X在区间(1,6)上服从均匀分布,求方程 t^2+Xt+1=0 有实根的概率
【题目】设随机变量X在区间(1,6)上服从均匀分布,求方程 t^2+Xt+1=0 有实根的概率
题目解答
答案
【解析】解方程有实根,即△=X^2-4≥0⇒X≤-2 ,或 X≥2 P(X≤-2)+P(X≥2)=0+∫_2^6(0.2dx=0.8.)
解析
步骤 1：确定方程有实根的条件
方程 t^2 + Xt + 1 = 0 有实根的条件是判别式 Δ ≥ 0。对于这个方程，判别式 Δ = X^2 - 4。因此，方程有实根的条件是 X^2 - 4 ≥ 0，即 X^2 ≥ 4。解这个不等式，得到 X ≤ -2 或 X ≥ 2。由于 X 在区间 (1, 6) 上服从均匀分布，所以 X ≤ -2 的情况不可能发生，因此我们只需要考虑 X ≥ 2 的情况。
步骤 2：计算概率
由于 X 在区间 (1, 6) 上服从均匀分布，其概率密度函数为 f(x) = 1/(6-1) = 1/5，对于 x ∈ (1, 6)。因此，方程有实根的概率 P(X ≥ 2) 等于 X 在区间 [2, 6) 上的积分。即 P(X ≥ 2) = ∫_2^6 (1/5) dx。
步骤 3：计算积分
计算积分 ∫_2^6 (1/5) dx = (1/5) * (6 - 2) = 4/5 = 0.8。
方程 t^2 + Xt + 1 = 0 有实根的条件是判别式 Δ ≥ 0。对于这个方程，判别式 Δ = X^2 - 4。因此，方程有实根的条件是 X^2 - 4 ≥ 0，即 X^2 ≥ 4。解这个不等式，得到 X ≤ -2 或 X ≥ 2。由于 X 在区间 (1, 6) 上服从均匀分布，所以 X ≤ -2 的情况不可能发生，因此我们只需要考虑 X ≥ 2 的情况。
步骤 2：计算概率
由于 X 在区间 (1, 6) 上服从均匀分布，其概率密度函数为 f(x) = 1/(6-1) = 1/5，对于 x ∈ (1, 6)。因此，方程有实根的概率 P(X ≥ 2) 等于 X 在区间 [2, 6) 上的积分。即 P(X ≥ 2) = ∫_2^6 (1/5) dx。
步骤 3：计算积分
计算积分 ∫_2^6 (1/5) dx = (1/5) * (6 - 2) = 4/5 = 0.8。