函数 f(x)=} x-2, & xgeq0, 2-x, & x

本题考查分段函数在某点处的间断性以及函数极限的相关知识。解题的关键在于判断函数在$x = 0$处的定义情况，以及左右极限是否存在且相等。

1. 判断函数在$x = 0$处的定义：
   已知函数$f(x)=\begin{cases} x - 2, & x\geq0 \\ 2 - x, & x\lt0 \end{cases}$，当$x = 0$时，代入$f(x)=x - 2$可得$f(0)=0 - 2=-2$，所以函数在$x = 0$处有定义，A选项错误。
2. 计算函数在$x = 0$处的左极限$\lim_{x \to 0^-} f(x)$：
   当$x\to 0^-$时，即$x$从左侧趋近于$0$，此时$x\lt0$，$f(x)=2 - x$。
   根据极限的运算法则$\lim_{x \to a} (c - x)=c - a$（$c$为常数），可得$\lim_{x \to 0^-} f(x)=\lim_{x \to 0^-} (2 - x)=2 - 0 = 2$，所以左极限存在，B选项错误。
3. 计算函数在$x = 0$处的右极限$\lim_{x \to 0^+} f(x)$：
   当$x\to 0^+$时，即$x$从右侧趋近于$0$，此时$x\geq0$，$f(x)=x - 2$。
   根据极限的运算法则$\lim_{x \to a} (x - c)=a - c$（$c$为常数），可得$\lim_{x \to 0^+} f(x)=\lim_{x \to 0^+} (x - 2)=0 - 2 = -2$，所以右极限存在，C选项错误。
4. 判断函数在$x = 0$处的极限$\lim_{x \to 0} f(x)$是否存在：
   函数在某点处极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等。
   由前面计算可知$\lim_{x \to 0^-} f(x)=2$，$\lim_{x \to 0^+} f(x)= -2$，因为$\lim_{x \to 0^-} f(x)\neq\lim_{x \to 0^+} f(x)$，所以$\lim_{x \to 0} f(x)$不存在，函数在$x = 0$处间断，D选项正确。