设f(x)为可导函数,F(x)为其原函数,则( ).A. 若f(x)是周期函数,则F(x)也是周期函数B. 若f(x)是单调函数,则F(x)也是单调函数C. 若f(x)是偶函数,则F(x)是奇函数D. 若f(x)是奇函数,则F(x)是偶函数

本题考查原函数与可导函数的性质关系，特别是奇偶性、周期性、单调性之间的联系。解题核心在于：

1. 原函数与导数的关系：若$F(x)$是$f(x)$的原函数，则$F'(x) = f(x)$。
2. 奇偶性积分特性：奇函数的积分结果为偶函数（忽略常数项），偶函数的积分结果为奇函数（忽略常数项）。
3. 周期性与单调性的传递性：原函数的周期性、单调性不一定直接由导数的性质决定，需结合积分结果具体分析。

选项A：若$f(x)$是周期函数，则$F(x)$也是周期函数

错误。
假设$f(x)$是周期为$T$的函数，其原函数$F(x) = \int f(x) \, dx + C$。积分后结果可能包含线性项（如$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$），导致$F(x)$不具有周期性。即使忽略常数项，原函数的周期性需满足$F(x+T) = F(x)$，但积分结果通常不满足此条件。

选项B：若$f(x)$是单调函数，则$F(x)$也是单调函数

错误。
若$f(x)$单调递增，则$F(x)$的二阶导数$F''(x) = f'(x) \geq 0$，说明$F(x)$的单调性由$f(x)$的符号决定。例如，若$f(x)$在某区间内变号，则$F(x)$可能先增后减或反之，因此$F(x)$的单调性不唯一。

选项C：若$f(x)$是偶函数，则$F(x)$是奇函数

错误。
偶函数$f(x)$的原函数为$\int f(x) \, dx + C$。例如，$\int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 + C$，当$C \neq 0$时，$F(x)$不再是奇函数。因此，原函数是否为奇函数取决于常数项是否为$0$，但题目未限定常数项，故不成立。

选项D：若$f(x)$是奇函数，则$F(x)$是偶函数

正确。
奇函数$f(x)$的原函数为$\int f(x) \, dx + C$。例如，$\int x^3 \, dx = \frac{1}{4}x^4 + C$，当$C = 0$时，$F(x)$是偶函数。虽然原函数包含任意常数，但题目中$F(x)$是“其原函数”，即存在某个原函数（如取$C=0$）满足偶函数性质，因此选项D成立。