题目
10.某商品进价为a(元/件)，根据以往经验，当销售价为b(元/件)时，销售量为c件(a,b,c均为正数,且)，市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%.现决定一次性降价，试问:当销售价为多少时，可获得最大利润?并求出最大利润. .
10.某商品进价为a(元/件)，根据以往经验，当销售价为b(元/件)时，销售量为c件(a,b,c均为正数,且
)，市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%.现决定一次性降价，试问:当销售价为多少时，可获得最大利润?并求出最大利润. .
题目解答
答案
解：设p为降价后的价格，x为降价后增加的销售量，f(x)为总利润，根据题意可得到
，
利润：
，
再把带入到函数f(x)中得到
对x求导得：
令
得到：
又∵
∴当
时，f(x)最大，将代入到f(x)得
此时定价为
∴当定价为
元时，此时利润最高，最高为
元。
解析
步骤 1：定义变量
设降价后的销售价为 $p$ 元/件，降价后的销售量为 $x$ 件。根据题意，销售价每下降10%，销售量可增加40%。因此，销售价下降的百分比与销售量增加的百分比之间存在线性关系。
步骤 2：建立销售价与销售量的关系
设销售价下降了 $k$ 倍，即 $p = b(1 - k)$，则销售量增加为 $x = c(1 + 0.4k)$。因为销售价每下降10%，销售量可增加40%，所以 $k$ 与 $0.1$ 成正比，即 $k = 0.1m$，其中 $m$ 是降价的次数。因此，$p = b(1 - 0.1m)$，$x = c(1 + 0.4 \times 0.1m) = c(1 + 0.04m)$。
步骤 3：建立利润函数
利润 $f(m) = (p - a)x = [b(1 - 0.1m) - a]c(1 + 0.04m)$。将 $p$ 和 $x$ 的表达式代入，得到 $f(m) = [b(1 - 0.1m) - a]c(1 + 0.04m)$。
步骤 4：求导数并求极值
对 $f(m)$ 求导，得到 $f'(m) = -0.1bc(1 + 0.04m) + [b(1 - 0.1m) - a]0.04c$。令 $f'(m) = 0$，解得 $m = \dfrac{3b - 4a}{2b}$。因为 $b \geqslant \dfrac{4}{3}a$，所以 $m$ 为正数，且 $f''(m) < 0$，所以 $m = \dfrac{3b - 4a}{2b}$ 时，$f(m)$ 取得最大值。
步骤 5：计算最大利润
将 $m = \dfrac{3b - 4a}{2b}$ 代入 $f(m)$，得到最大利润 $f(\dfrac{3b - 4a}{2b}) = \dfrac{c}{16b}(5b - 4a)^2$。此时的销售价为 $p = b(1 - 0.1 \times \dfrac{3b - 4a}{2b}) = \dfrac{5}{8}b + \dfrac{1}{2}a$。
设降价后的销售价为 $p$ 元/件，降价后的销售量为 $x$ 件。根据题意，销售价每下降10%，销售量可增加40%。因此，销售价下降的百分比与销售量增加的百分比之间存在线性关系。
步骤 2：建立销售价与销售量的关系
设销售价下降了 $k$ 倍，即 $p = b(1 - k)$，则销售量增加为 $x = c(1 + 0.4k)$。因为销售价每下降10%，销售量可增加40%，所以 $k$ 与 $0.1$ 成正比，即 $k = 0.1m$，其中 $m$ 是降价的次数。因此，$p = b(1 - 0.1m)$，$x = c(1 + 0.4 \times 0.1m) = c(1 + 0.04m)$。
步骤 3：建立利润函数
利润 $f(m) = (p - a)x = [b(1 - 0.1m) - a]c(1 + 0.04m)$。将 $p$ 和 $x$ 的表达式代入，得到 $f(m) = [b(1 - 0.1m) - a]c(1 + 0.04m)$。
步骤 4：求导数并求极值
对 $f(m)$ 求导，得到 $f'(m) = -0.1bc(1 + 0.04m) + [b(1 - 0.1m) - a]0.04c$。令 $f'(m) = 0$，解得 $m = \dfrac{3b - 4a}{2b}$。因为 $b \geqslant \dfrac{4}{3}a$，所以 $m$ 为正数，且 $f''(m) < 0$，所以 $m = \dfrac{3b - 4a}{2b}$ 时，$f(m)$ 取得最大值。
步骤 5：计算最大利润
将 $m = \dfrac{3b - 4a}{2b}$ 代入 $f(m)$，得到最大利润 $f(\dfrac{3b - 4a}{2b}) = \dfrac{c}{16b}(5b - 4a)^2$。此时的销售价为 $p = b(1 - 0.1 \times \dfrac{3b - 4a}{2b}) = \dfrac{5}{8}b + \dfrac{1}{2}a$。