设两个相互独立的随机事件A,B,它们都不发生的概率为(1)/(9),A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)=().A. (2)/(3)B. (5)/(12)C. (3)/(4)D. (5)/(6)

本题考查相互独立事件的概率计算。解题的关键在于利用相互独立事件的性质以及题目所给的条件建立关于$P(A)$和$P(B)$的方程，进而求解$P(A)$。

1. 首先明确相互独立事件的性质：
   • 若事件$A$、$B$相互独立，则$A$与$\overline{B}$，$\overline{A}$与$B$，$\overline{A}$与$\overline{B}$也相互独立。
   • 根据相互独立事件同时发生的概率公式：若$M$、$N$相互独立，则$P(MN)=P(M)P(N)$。
2. 然后根据题目条件列方程：
   • 已知$A$发生$B$不发生的概率与$B$发生$A$不发生的概率相等，即$P(A\overline{B}) = P(\overline{A}B)$。
     • 因为$A$与$\overline{B}$相互独立，所以$P(A\overline{B}) = P(A)P(\overline{B})$；同理$\overline{A}$与$B$相互独立，所以$P(\overline{A}B) = P(\overline{A})P(B)$。
     • 又因为$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$，$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$，则$P(A)(1 - P(B)) = (1 - P(A))P(B)$。
     • 展开式子可得$P(A)-P(A)P(B)=P(B)-P(A)P(B)$，两边同时消去$-P(A)P(B)$，得到$P(A)=P(B)$。
   • 已知它们都不发生的概率为$\frac{1}{9}$，即$P(\overline{A}\overline{B})=\frac{1}{9}$。
     • 因为$\overline{A}$与$\overline{B}$相互独立，所以$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})$。
     • 把$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$，$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$以及$P(A)=P(B)$代入可得$(1 - P(A))(1 - P(A))=\frac{1}{9}$，即$(1 - P(A))^{2}=\frac{1}{9}$。
3. 最后求解$P(A)$：
   • 对$(1 - P(A))^{2}=\frac{1}{9}$两边开平方，得到$1 - P(A)=\pm\frac{1}{3}$。
   • 当$1 - P(A)=\frac{1}{3}$时，移项可得$P(A)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
   • 当$1 - P(A)=-\frac{1}{3}$时，移项可得$P(A)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，但概率的值域是$[0,1]$，所以$P(A)=\frac{4}{3}$舍去。