题目
2.[简答题]4.[填空题]int 1n2xdx=____。
2.[简答题]4.[填空题]$\int 1n2xdx=$____。
题目解答
答案
要解决积分 $\int \ln(2x) \, dx$，我们可以使用分部积分法。分部积分法的公式是：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
在这个问题中，我们可以设 $u = \ln(2x)$ 和 $dv = dx$。那么，$du = \frac{1}{2x} \cdot 2 \, dx = \frac{1}{x} \, dx$ 和 $v = x$。将这些代入分部积分法的公式中，我们得到：
\[
\int \ln(2x) \, dx = \ln(2x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx
\]
简化右边的表达式，我们有：
\[
\int \ln(2x) \, dx = x \ln(2x) - \int 1 \, dx
\]
积分 $\int 1 \, dx$ 简单地是 $x$。因此，我们得到：
\[
\int \ln(2x) \, dx = x \ln(2x) - x + C
\]
其中 $C$ 是积分常数。我们可以从右边的前两项中提取出 $x$：
\[
\int \ln(2x) \, dx = x (\ln(2x) - 1) + C
\]
所以，最终答案是：
\[
\boxed{x \ln(2x) - x + C}
\]
解析
步骤 1：确定积分方法
对于积分 $\int \ln(2x) \, dx$，我们使用分部积分法，因为 $\ln(2x)$ 是一个对数函数，而 $dx$ 是一个简单的微分形式，这符合分部积分法的适用条件。
步骤 2：应用分部积分法
分部积分法的公式是 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。我们设 $u = \ln(2x)$ 和 $dv = dx$。那么，$du = \frac{1}{2x} \cdot 2 \, dx = \frac{1}{x} \, dx$ 和 $v = x$。将这些代入分部积分法的公式中，我们得到：
\[ \int \ln(2x) \, dx = \ln(2x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \]
步骤 3：简化并求解
简化右边的表达式，我们有：
\[ \int \ln(2x) \, dx = x \ln(2x) - \int 1 \, dx \]
积分 $\int 1 \, dx$ 简单地是 $x$。因此，我们得到：
\[ \int \ln(2x) \, dx = x \ln(2x) - x + C \]
其中 $C$ 是积分常数。我们可以从右边的前两项中提取出 $x$：
\[ \int \ln(2x) \, dx = x (\ln(2x) - 1) + C \]
对于积分 $\int \ln(2x) \, dx$，我们使用分部积分法，因为 $\ln(2x)$ 是一个对数函数，而 $dx$ 是一个简单的微分形式，这符合分部积分法的适用条件。
步骤 2：应用分部积分法
分部积分法的公式是 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。我们设 $u = \ln(2x)$ 和 $dv = dx$。那么，$du = \frac{1}{2x} \cdot 2 \, dx = \frac{1}{x} \, dx$ 和 $v = x$。将这些代入分部积分法的公式中，我们得到：
\[ \int \ln(2x) \, dx = \ln(2x) \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \]
步骤 3：简化并求解
简化右边的表达式，我们有：
\[ \int \ln(2x) \, dx = x \ln(2x) - \int 1 \, dx \]
积分 $\int 1 \, dx$ 简单地是 $x$。因此，我们得到：
\[ \int \ln(2x) \, dx = x \ln(2x) - x + C \]
其中 $C$ 是积分常数。我们可以从右边的前两项中提取出 $x$：
\[ \int \ln(2x) \, dx = x (\ln(2x) - 1) + C \]