题目
(2) lim _(xarrow infty )((dfrac {x+1)(x-1))}^-dfrac (x{2)}= () ;-|||-(A)1 (B) ^dfrac (1{2)} (C)0 (D) ^-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简表达式
首先，我们化简给定的表达式。注意到分子和分母都含有x，我们可以将表达式重写为：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x+1}{x-1})}^{-\dfrac {x}{2}} = \lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}})}^{-\dfrac {x}{2}}$$
步骤 2：应用极限
接下来，我们应用极限的性质。当x趋向于无穷大时，$\frac{1}{x}$趋向于0，因此：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}})}^{-\dfrac {x}{2}} = \lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1+0}{1-0})}^{-\dfrac {x}{2}} = \lim _{x\rightarrow \infty }{1}^{-\dfrac {x}{2}}$$
步骤 3：应用指数极限
由于$1^{-\dfrac {x}{2}}$在x趋向于无穷大时保持为1，我们进一步应用指数极限的性质，将表达式转换为自然对数的形式：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}})}^{-\dfrac {x}{2}} = \lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{-\dfrac {x}{2}\ln(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}})}$$
步骤 4：应用洛必达法则
为了计算这个极限，我们应用洛必达法则。首先，我们计算$\ln(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}})$的导数：
$$\ln(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}) = \ln(1+\frac{1}{x}) - \ln(1-\frac{1}{x})$$
$$\frac{d}{dx}[\ln(1+\frac{1}{x}) - \ln(1-\frac{1}{x})] = -\frac{1}{x^2(1+\frac{1}{x})} + \frac{1}{x^2(1-\frac{1}{x})}$$
$$= \frac{1}{x^2}(\frac{1}{1-\frac{1}{x}} - \frac{1}{1+\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x^2}(\frac{1}{1-\frac{1}{x}} - \frac{1}{1+\frac{1}{x}}) = \frac{2}{x^2-1}$$
步骤 5：计算极限
将导数代入原极限中，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{-\dfrac {x}{2}\ln(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}})} = \lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{-\dfrac {x}{2}\cdot \frac{2}{x^2-1}} = \lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{-\dfrac {1}{x-1/x}} = {e}^{-1}$$
首先，我们化简给定的表达式。注意到分子和分母都含有x，我们可以将表达式重写为：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x+1}{x-1})}^{-\dfrac {x}{2}} = \lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}})}^{-\dfrac {x}{2}}$$
步骤 2：应用极限
接下来，我们应用极限的性质。当x趋向于无穷大时，$\frac{1}{x}$趋向于0，因此：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}})}^{-\dfrac {x}{2}} = \lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1+0}{1-0})}^{-\dfrac {x}{2}} = \lim _{x\rightarrow \infty }{1}^{-\dfrac {x}{2}}$$
步骤 3：应用指数极限
由于$1^{-\dfrac {x}{2}}$在x趋向于无穷大时保持为1，我们进一步应用指数极限的性质，将表达式转换为自然对数的形式：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}})}^{-\dfrac {x}{2}} = \lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{-\dfrac {x}{2}\ln(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}})}$$
步骤 4：应用洛必达法则
为了计算这个极限，我们应用洛必达法则。首先，我们计算$\ln(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}})$的导数：
$$\ln(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}) = \ln(1+\frac{1}{x}) - \ln(1-\frac{1}{x})$$
$$\frac{d}{dx}[\ln(1+\frac{1}{x}) - \ln(1-\frac{1}{x})] = -\frac{1}{x^2(1+\frac{1}{x})} + \frac{1}{x^2(1-\frac{1}{x})}$$
$$= \frac{1}{x^2}(\frac{1}{1-\frac{1}{x}} - \frac{1}{1+\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x^2}(\frac{1}{1-\frac{1}{x}} - \frac{1}{1+\frac{1}{x}}) = \frac{2}{x^2-1}$$
步骤 5：计算极限
将导数代入原极限中，我们得到：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{-\dfrac {x}{2}\ln(\dfrac {1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}})} = \lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{-\dfrac {x}{2}\cdot \frac{2}{x^2-1}} = \lim _{x\rightarrow \infty }{e}^{-\dfrac {1}{x-1/x}} = {e}^{-1}$$