题目

设 (x)=(e)^-x, 则 int dfrac (f'(ln x))(x)dx= .(x)=(e)^-x, 则 int dfrac (f'(ln x))(x)dx= .

设 $f(x)=\mathrm{e}^{-x} , 则 \int \frac{f^{\prime}(\ln x)}{x} \mathrm{~d} x=(\quad) .$

$(A)-\frac{1}{x}+c\ \ (B)-\ln x+c\ \ \ (C)\frac{1}{x}+c\ \ \ (D)\ln x+c$

题目解答

答案

我们先对 $\frac{f^{\prime}(\ln x)}{x}$ 进行一些简单的变形：

$\frac{f(\ln x)}{x}=f(\ln x) \cdot \frac{1}{x}=\frac{d}{d(\ln x)} e^{-\ln x} \cdot \frac{1}{x}$

由链式法则，有

$\frac{d}{d(\ln x)} e^{-\ln x}=-e^{-\ln x}=-\frac{1}{x}$

代入上面的式子，得到：

$\frac{f(\ln x)}{x}=-\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}=-\frac{1}{x^{2}}$

因此，原式可以化简为：

$\int \frac{f(\ln x)}{x} \mathrm{~d} x=\int-\frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$

对积分进行求解，得到：

$-\int \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{x}+C$

解析

考查要点：本题主要考查复合函数的导数计算及不定积分的基本方法。关键在于正确求出$f'(\ln x)$，并将其代入积分表达式进行化简。

解题思路：

求导：先对$f(x)=e^{-x}$求导，得到$f'(x)=-e^{-x}$；
变量替换：将$\ln x$代入$f'(x)$中，得到$f'(\ln x)=-e^{-\ln x}=-\frac{1}{x}$；
化简积分式：将$f'(\ln x)/x$代入积分表达式，转化为$\int -\frac{1}{x^2}dx$；
积分计算：直接应用幂函数积分公式求解。

破题关键：正确应用链式法则求导，并注意变量替换后的化简。

步骤1：求$f'(x)$
已知$f(x)=e^{-x}$，则其导数为：
$f'(x) = \frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}$

步骤2：计算$f'(\ln x)$
将$x$替换为$\ln x$，得：
$f'(\ln x) = -e^{-\ln x} = -\frac{1}{x}$

步骤3：代入积分表达式
原积分式为：
$\int \frac{f'(\ln x)}{x} dx = \int \frac{-\frac{1}{x}}{x} dx = \int -\frac{1}{x^2} dx$

步骤4：计算积分
利用幂函数积分公式$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）：
$\int -\frac{1}{x^2} dx = -\int x^{-2} dx = -\left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{x} + C$