题目
3.计算I=iintlimits_(Sigma)x(1+x^2z)dydz+y(1-x^2z)dzdx+z(1-x^2z)dxdy，其中Sigma为曲面z=sqrt(x^2)+y^(2)(0le zle 1)的下侧.
3.计算$I=\iint\limits_{\Sigma}x(1+x^{2}z)dydz+y(1-x^{2}z)dzdx+z(1-x^{2}z)dxdy$，其中$\Sigma$为曲面$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}(0\le z\le 1)$的下侧.
题目解答
答案
将曲面 $\Sigma$ 补充为闭合曲面，包含平面 $z=1$（上侧）构成 $\partial \Omega$。
计算散度：
\[
\nabla \cdot \mathbf{F} = 3
\]
由高斯公式：
\[
\iint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_{\Omega} 3 \, dV = 3 \times \frac{\pi}{3} = \pi
\]
计算平面 $z=1$ 上的积分（法向量 $\mathbf{n} = (0,0,1)$）：
\[
\iint_{z=1} (1-x^2) \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r - r^3 \cos^2 \theta) \, dr \, d\theta = \frac{3\pi}{4}
\]
原积分：
\[
I = \pi - \frac{3\pi}{4} = \boxed{\frac{\pi}{4}}
\]
解析
步骤 1：确定积分区域和被积函数
积分区域 $\Sigma$ 是曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在 $0\le z\le 1$ 的部分，且为下侧。被积函数为 $x(1+x^{2}z)dydz+y(1-x^{2}z)dzdx+z(1-x^{2}z)dxdy$。
步骤 2：应用高斯公式
将曲面 $\Sigma$ 补充为闭合曲面，包含平面 $z=1$（上侧）构成 $\partial \Omega$。计算散度： \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = 3 \] 由高斯公式： \[ \iint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_{\Omega} 3 \, dV = 3 \times \frac{\pi}{3} = \pi \]
步骤 3：计算平面 $z=1$ 上的积分
计算平面 $z=1$ 上的积分（法向量 $\mathbf{n} = (0,0,1)$）： \[ \iint_{z=1} (1-x^2) \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r - r^3 \cos^2 \theta) \, dr \, d\theta = \frac{3\pi}{4} \]
步骤 4：计算原积分
原积分： \[ I = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \]
积分区域 $\Sigma$ 是曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在 $0\le z\le 1$ 的部分，且为下侧。被积函数为 $x(1+x^{2}z)dydz+y(1-x^{2}z)dzdx+z(1-x^{2}z)dxdy$。
步骤 2：应用高斯公式
将曲面 $\Sigma$ 补充为闭合曲面，包含平面 $z=1$（上侧）构成 $\partial \Omega$。计算散度： \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = 3 \] 由高斯公式： \[ \iint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_{\Omega} 3 \, dV = 3 \times \frac{\pi}{3} = \pi \]
步骤 3：计算平面 $z=1$ 上的积分
计算平面 $z=1$ 上的积分（法向量 $\mathbf{n} = (0,0,1)$）： \[ \iint_{z=1} (1-x^2) \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r - r^3 \cos^2 \theta) \, dr \, d\theta = \frac{3\pi}{4} \]
步骤 4：计算原积分
原积分： \[ I = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \]