题目
[题目]某种型号的电子管的寿命x以小时计)具-|||-有以下概率密度;-|||-f(x)= ) 1000/(x)^2xgt 1000 . 现有一大批此种管子(设各-|||-电子管损坏与否相互独立),任取5只,问其中至-|||-少有2只寿命大于1500小时的概率是多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算寿命大于1500小时的概率
根据给定的概率密度函数，计算寿命大于1500小时的概率：
\[ P(X \geq 1500) = \int_{1500}^{\infty} \frac{1000}{x^2} dx \]
\[ = \left[ -\frac{1000}{x} \right]_{1500}^{\infty} \]
\[ = \frac{1000}{1500} = \frac{2}{3} \]
步骤 2：确定二项分布参数
设其中寿命大于1500小时的个数为X，则X服从二项分布，参数为n=5，p=2/3，即$X \sim B(5, \frac{2}{3})$。
步骤 3：计算至少有2只寿命大于1500小时的概率
\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \]
\[ = 1 - {C}_{5}^{0} \left(\frac{1}{3}\right)^5 - {C}_{5}^{1} \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right)^4 \]
\[ = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5 - 5 \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right)^4 \]
\[ = 1 - \frac{1}{243} - \frac{10}{243} \]
\[ = 1 - \frac{11}{243} \]
\[ = \frac{232}{243} \]
根据给定的概率密度函数，计算寿命大于1500小时的概率：
\[ P(X \geq 1500) = \int_{1500}^{\infty} \frac{1000}{x^2} dx \]
\[ = \left[ -\frac{1000}{x} \right]_{1500}^{\infty} \]
\[ = \frac{1000}{1500} = \frac{2}{3} \]
步骤 2：确定二项分布参数
设其中寿命大于1500小时的个数为X，则X服从二项分布，参数为n=5，p=2/3，即$X \sim B(5, \frac{2}{3})$。
步骤 3：计算至少有2只寿命大于1500小时的概率
\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \]
\[ = 1 - {C}_{5}^{0} \left(\frac{1}{3}\right)^5 - {C}_{5}^{1} \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right)^4 \]
\[ = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5 - 5 \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right)^4 \]
\[ = 1 - \frac{1}{243} - \frac{10}{243} \]
\[ = 1 - \frac{11}{243} \]
\[ = \frac{232}{243} \]