4 求出抛物面 z= (1)/(2)(ax^2+by^2) 在(0,0)点和方向(dx:dy)的法曲率.

将抛物面 $ z = \frac{1}{2}(ax^2 + by^2) $ 参数化为 $ \mathbf{r}(u, v) = (u, v, \frac{1}{2}(au^2 + bv^2)) $。
在点 $(0,0)$ 处，第一基本形式系数为：
$E = 1, \quad F = 0, \quad G = 1$
第二基本形式系数为：
$L = a, \quad M = 0, \quad N = b$
法曲率 $ k_n $ 由公式：
$k_n = \frac{Ldu^2 + 2M dudv + Ndv^2}{Edu^2 + 2F dudv + Gdv^2}$
代入系数得：
$k_n = \frac{a dx^2 + b dy^2}{dx^2 + dy^2}$

答案：
$\boxed{\frac{a dx^2 + b dy^2}{dx^2 + dy^2}}$