气缸中密封有空气，初态为 p_1 = 0.2 , (MPa)，V_1 = 0.4 , (m)^3，缓慢膨胀到 V_2 = 0.8 , (m)^3。（1）过程中 pV 保持不变；（2）过程中气体先沿 p = 0.4 - 0.5|V| 膨胀到 V_m = 0.6 , (m)^3，再维持压力不变膨胀到 V_2 = 0.8 , (m)^3。分别求出两过程中气体作出的膨胀功。

本题主要考查理想气体在不同过程中膨胀功的计算，解题的关键在于根据不同过程的压强 - 体积关系，利用膨胀功的计算公式进行求解。

（1）$pV = \text{常数}$ 的过程

• 确定过程方程：已知过程中 $pV$ 保持不变，即 $pV = p_1V_1 = p_2V_2$，由此可得 $p = \frac{p_1V_1}{V}$。
• 计算膨胀功：根据膨胀功的计算公式 $W = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV$，将 $p = \frac{p_1V_1}{V}$ 代入可得：
  $\begin{align*}W &= \int_{V_1}^{V_2} \frac{p_1V_1}{V} \, dV\\&= p_1V_1 \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} \, dV\\&= p_1V_1 [\ln V]_{V_1}^{V_2}\\&= p_1V_1 \ln \frac{V_2}{V_1}\end{align*}$
• 代入数据计算：已知 $p_1 = 0.2 \times 10^6 \, \text{Pa}$，$V_1 = 0.4 \, \text{m}^3$，$V_2 = 0.8 \, \text{m}^3$，代入上式可得：
  $\begin{align*}W &= 0.2 \times 10^6 \times 0.4 \times \ln \frac{0.8}{0.4}\\&= 0.2 \times 10^6 \times 0.4 \times \ln 2\\&\approx 5.54 \times 10^4 \, \text{J}\end{align*}$

（2）分段过程

• 第一部分：沿 $p = 0.4 - 0.5|V|$ 膨胀到 $V_m = 0.6 \, \text{m}^3$
  • 确定过程方程：在 $0.4 \, \text{m}^3$ 到 $0.6 \, \text{m}^3$ 区间，$V$ 为正，所以 $p = 0.4 - 0.5V$。
  • 计算膨胀功：根据膨胀功的计算公式 $W = \int_{V_1}^{V_m} p \, dV$，将 $p = 0.4 - 0.5V$ 代入可得：
    $\begin{align*}W_1 &= \int_{0.4}^{0.6} (0.4 - 0.5V) \, dV\\&= \left[0.4V - 0.25V^2\right]_{0.4}^{0.6}\\&= (0.4 \times 0.6 - 0.25 \times 0.6^2) - (0.4 \times 0.4 - 0.25 \times 0.4^2)\\&= (0.24 - 0.09) - (0.16 - 0.04)\\&= 0.15 - 0.12\\&= 0.03 \, \text{MPa} \cdot \text{m}^3\end{align*}$
    因为 $1 \, \text{MPa} \cdot \text{m}^3 = 10^6 \, \text{J}$，所以 $W_1 = 0.03 \times 10^6 \, \text{J} = 3 \times 10^4 \, \text{J}$。
• 第二部分：维持压力不变膨胀到 $V_2 = 0.8 \, \text{m}^3$
  • 确定压强：当 $V_m = 0.6 \, \text{m}^3$ 时，$p_m = 0.4 - 0.5 \times 0.6 = 0.1 \, \text{MPa}$。
  • 计算膨胀功：根据等压过程膨胀功的计算公式 $W = p(V_2 - V_1)$，可得：
    $\begin{align*}W_2 &= p_m (V_2 - V_m)\\&= 0.1 \times 10^6 \times (0.8 - 0.6)\\&= 0.1 \times 10^6 \times 0.2\\&= 2 \times 10^4 \, \text{J}\end{align*}$
• 计算总功：总功 $W = W_1 + W_2 = 3 \times 10^4 + 2 \times 10^4 = 5 \times 10^4 \, \text{J}$。