题目
设平面有界区域D位于第一象限，由曲线xy=(1)/(3),xy=3与直线y=(1)/(3)x,y=3x围成，计算iintlimits_(D)(1+x-y)dxdy.
设平面有界区域D位于第一象限，由曲线$xy=\frac{1}{3},xy=3$与直线$y=\frac{1}{3}x,y=3x$围成，计算
$\iint\limits_{D}(1+x-y)dxdy$.
题目解答
答案
令 $u = xy$，$v = \frac{y}{x}$，则 $x = \sqrt{\frac{u}{v}}$，$y = \sqrt{uv}$。雅可比行列式 $|J| = \frac{1}{2v}$。
区域 $D$ 转换为 $D'：\frac{1}{3} \leq u \leq 3$，$\frac{1}{3} \leq v \leq 3$。
被积函数变为 $\frac{1}{2v}(1 + \sqrt{\frac{u}{v}} - \sqrt{uv})$。
积分得：
\[
\int_{\frac{1}{3}}^{3} \int_{\frac{1}{3}}^{3} \frac{1}{2v} \, dv \, du = \frac{8}{3} \ln 3.
\]
**答案：** $\boxed{\frac{8}{3} \ln 3}$
解析
步骤 1：变量替换
令 $u = xy$，$v = \frac{y}{x}$，则 $x = \sqrt{\frac{u}{v}}$，$y = \sqrt{uv}$。这样，原区域 $D$ 转换为 $D'：\frac{1}{3} \leq u \leq 3$，$\frac{1}{3} \leq v \leq 3$。
步骤 2：雅可比行列式
计算雅可比行列式 $|J| = \frac{1}{2v}$。
步骤 3：被积函数转换
被积函数 $(1+x-y)$ 转换为 $\frac{1}{2v}(1 + \sqrt{\frac{u}{v}} - \sqrt{uv})$。
步骤 4：积分计算
计算积分 $\int_{\frac{1}{3}}^{3} \int_{\frac{1}{3}}^{3} \frac{1}{2v} \, dv \, du$，得到 $\frac{8}{3} \ln 3$。
令 $u = xy$，$v = \frac{y}{x}$，则 $x = \sqrt{\frac{u}{v}}$，$y = \sqrt{uv}$。这样，原区域 $D$ 转换为 $D'：\frac{1}{3} \leq u \leq 3$，$\frac{1}{3} \leq v \leq 3$。
步骤 2：雅可比行列式
计算雅可比行列式 $|J| = \frac{1}{2v}$。
步骤 3：被积函数转换
被积函数 $(1+x-y)$ 转换为 $\frac{1}{2v}(1 + \sqrt{\frac{u}{v}} - \sqrt{uv})$。
步骤 4：积分计算
计算积分 $\int_{\frac{1}{3}}^{3} \int_{\frac{1}{3}}^{3} \frac{1}{2v} \, dv \, du$，得到 $\frac{8}{3} \ln 3$。