3、单选 lim _(x arrow 0) (xy)/(x^2)+y^(2)=( )A. 1B. 0C. 1/2D. 不存在

本题考查二元函数极限的存在性判断。解题思路是通过选取不同的路径趋近于给定的点$(0,0)$，若沿不同路径得到的极限值不同，则该二元函数在该点的极限不存在。

下面我们通过选取不同路径来计算极限：

• 路径一：沿$y = kx$趋近于$(0,0)$
  将$y = kx$代入到函数$\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$中，此时$x\to 0$，则有：
  $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x\cdot kx}{x^{2}+(kx)^{2}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{kx^{2}}{x^{2}+k^{2}x^{2}}$
  提取公因式$x^{2}$可得：
  $\lim\limits_{x \to 0} \frac{kx^{2}}{x^{2}(1 + k^{2})}$
  因为$x\to 0$但$x\neq 0$，所以可以约去$x^{2}$，得到：
  $\lim\limits_{x \to 0} \frac{k}{1 + k^{2}}=\frac{k}{1 + k^{2}}$
  这里的极限值与$k$有关，即当$k$取不同的值时，极限值不同。

例如，当$k = 0$时，极限值为$\frac{0}{1 + 0^{2}} = 0$；当$k = 1$时，极限值为$\frac{1}{1 + 1^{2}}=\frac{1}{2}$。

由于沿不同路径趋近于$(0,0)$时极限值不同，所以$\lim\limits_{x \to 0} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$不存在。