题目
参数方程x=cos t，y=sin t下，曲线积分int_(C)xdy的表达式为（）A. int_(0)^2picos tcdotcos tdtB. int_(0)^2picos tcdot(-sin t)dtC. int_(0)^2picos tcdotsin tdtD. int_(0)^2picos tdt
参数方程$x=\cos t$，$y=\sin t$下，曲线积分$\int_{C}xdy$的表达式为（）
A. $\int_{0}^{2\pi}\cos t\cdot\cos tdt$
B. $\int_{0}^{2\pi}\cos t\cdot(-\sin t)dt$
C. $\int_{0}^{2\pi}\cos t\cdot\sin tdt$
D. $\int_{0}^{2\pi}\cos tdt$
题目解答
答案
A. $\int_{0}^{2\pi}\cos t\cdot\cos tdt$
解析
步骤 1：参数方程代入
将参数方程 $x = \cos t$ 和 $y = \sin t$ 代入曲线积分 $\int_C x \, dy$ 中。
步骤 2：求导
对 $y = \sin t$ 求导，得到 $dy = \cos t \, dt$。
步骤 3：代入积分
将 $x = \cos t$ 和 $dy = \cos t \, dt$ 代入积分 $\int_C x \, dy$，得到 $\int_C \cos t \cdot \cos t \, dt$。
步骤 4：确定积分区间
由于参数方程 $x = \cos t$ 和 $y = \sin t$ 描述的是单位圆，所以 $t$ 的取值范围是 $[0, 2\pi]$。
步骤 5：写出最终积分表达式
将积分区间代入，得到 $\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt$。
将参数方程 $x = \cos t$ 和 $y = \sin t$ 代入曲线积分 $\int_C x \, dy$ 中。
步骤 2：求导
对 $y = \sin t$ 求导，得到 $dy = \cos t \, dt$。
步骤 3：代入积分
将 $x = \cos t$ 和 $dy = \cos t \, dt$ 代入积分 $\int_C x \, dy$，得到 $\int_C \cos t \cdot \cos t \, dt$。
步骤 4：确定积分区间
由于参数方程 $x = \cos t$ 和 $y = \sin t$ 描述的是单位圆，所以 $t$ 的取值范围是 $[0, 2\pi]$。
步骤 5：写出最终积分表达式
将积分区间代入，得到 $\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, dt$。