3.设矩阵A= (} -2& 0& 0 2& x& 2 3& 1& 1 ) . 相似,则 x= __ ,-|||-.y= __

矩阵相似的条件是解题的核心。相似矩阵具有相同的迹、行列式和特征值。题目中矩阵B是对角矩阵，其对角线元素即特征值。因此，通过比较A和B的迹、行列式，以及分析特征值，可以确定x和y的值。

步骤1：利用迹相等

矩阵A的迹为：
$\text{tr}(A) = -2 + x + 1 = x - 1$
矩阵B的迹为：
$\text{tr}(B) = -1 + 2 + y = y + 1$
由迹相等得方程：
$x - 1 = y + 1 \quad \Rightarrow \quad x - y = 2 \quad (1)$

步骤2：利用行列式相等

矩阵A的行列式按第一行展开：
$|A| = -2 \cdot \begin{vmatrix} x & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2(x \cdot 1 - 2 \cdot 1) = -2(x - 2) = -2x + 4$
矩阵B的行列式为对角元素乘积：
$|B| = (-1) \cdot 2 \cdot y = -2y$
由行列式相等得方程：
$-2x + 4 = -2y \quad \Rightarrow \quad y = x - 2 \quad (2)$

步骤3：联立方程求解

将方程(2)代入方程(1)：
$x - (x - 2) = 2 \quad \Rightarrow \quad 2 = 2$
说明方程有无穷解，需进一步分析特征值。

步骤4：分析特征值

矩阵B的特征值为$-1, 2, y$，矩阵A的特征值应与此相同。
由矩阵A的特征方程：
$|A - \lambda I| = (-2 - \lambda)\left[(x - \lambda)(1 - \lambda) - 2\right] = 0$
当$x = 0$时，二次方程变为：
$\lambda^2 - \lambda - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2 \text{ 或 } -1$
此时矩阵A的特征值为$-2, 2, -1$，与矩阵B的特征值$-1, 2, y = -2$一致。