题目
1.利用高斯公式计算曲面积分:-|||-(5) 4xzdyzz-{y)^2dzdx+yzdxdy, 其中∑为平面 x=0 =0 =0 =1 =-|||-1. z=1 所围成的立体的全表面的外侧.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
题目中提到的积分区域是由平面 x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1 所围成的立体的全表面的外侧。这意味着积分区域是一个单位立方体的表面。
步骤 2：应用高斯公式
高斯公式（也称为散度定理）表明，对于一个闭合曲面 S，其上的向量场 F 的通量等于该向量场在曲面所围成的体积 V 内的散度的积分。即：
$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$$
其中，$\mathbf{F} = (4xz, -y^2, yz)$，$\nabla \cdot \mathbf{F}$ 是 $\mathbf{F}$ 的散度。
步骤 3：计算散度
计算 $\mathbf{F}$ 的散度：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(4xz) + \frac{\partial}{\partial y}(-y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(yz)$$
$$= 4z - 2y + y$$
$$= 4z - y$$
步骤 4：计算体积积分
根据高斯公式，我们需要计算散度在体积 V 内的积分：
$$\iiint_{V} (4z - y) \, dV$$
由于 V 是一个单位立方体，我们可以将积分分解为三个独立的积分：
$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (4z - y) \, dx \, dy \, dz$$
由于积分与 x 无关，我们可以先对 x 积分，得到：
$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (4z - y) \, dy \, dz$$
然后对 y 积分，得到：
$$\int_{0}^{1} (4z - \frac{1}{2}) \, dz$$
最后对 z 积分，得到：
$$\left[ 2z^2 - \frac{1}{2}z \right]_{0}^{1} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
题目中提到的积分区域是由平面 x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1 所围成的立体的全表面的外侧。这意味着积分区域是一个单位立方体的表面。
步骤 2：应用高斯公式
高斯公式（也称为散度定理）表明，对于一个闭合曲面 S，其上的向量场 F 的通量等于该向量场在曲面所围成的体积 V 内的散度的积分。即：
$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$$
其中，$\mathbf{F} = (4xz, -y^2, yz)$，$\nabla \cdot \mathbf{F}$ 是 $\mathbf{F}$ 的散度。
步骤 3：计算散度
计算 $\mathbf{F}$ 的散度：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(4xz) + \frac{\partial}{\partial y}(-y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(yz)$$
$$= 4z - 2y + y$$
$$= 4z - y$$
步骤 4：计算体积积分
根据高斯公式，我们需要计算散度在体积 V 内的积分：
$$\iiint_{V} (4z - y) \, dV$$
由于 V 是一个单位立方体，我们可以将积分分解为三个独立的积分：
$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (4z - y) \, dx \, dy \, dz$$
由于积分与 x 无关，我们可以先对 x 积分，得到：
$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (4z - y) \, dy \, dz$$
然后对 y 积分，得到：
$$\int_{0}^{1} (4z - \frac{1}{2}) \, dz$$
最后对 z 积分，得到：
$$\left[ 2z^2 - \frac{1}{2}z \right]_{0}^{1} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$