题目
7.函数 (x)=4(x)^3 在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件,则 = __
题目解答
答案
解析
步骤 1：验证函数 $f(x)=4{x}^{3}$ 在区间[0,1]上是否满足拉格朗日中值定理的条件
拉格朗日中值定理要求函数在闭区间上连续，在开区间上可导。函数 $f(x)=4{x}^{3}$ 是一个多项式函数，它在实数范围内连续且可导，因此在区间[0,1]上也满足这些条件。
步骤 2：计算函数在区间端点的值
$f(0) = 4(0)^3 = 0$
$f(1) = 4(1)^3 = 4$
步骤 3：计算函数在区间[0,1]上的平均变化率
平均变化率 = $\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{4 - 0}{1} = 4$
步骤 4：求导数 $f'(x)$
$f'(x) = 12x^2$
步骤 5：根据拉格朗日中值定理，存在一个 $c \in (0,1)$ 使得 $f'(c) = 4$
$12c^2 = 4$
$c^2 = \frac{1}{3}$
$c = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
由于 $c$ 必须在区间 $(0,1)$ 内，我们取 $c = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
拉格朗日中值定理要求函数在闭区间上连续，在开区间上可导。函数 $f(x)=4{x}^{3}$ 是一个多项式函数，它在实数范围内连续且可导，因此在区间[0,1]上也满足这些条件。
步骤 2：计算函数在区间端点的值
$f(0) = 4(0)^3 = 0$
$f(1) = 4(1)^3 = 4$
步骤 3：计算函数在区间[0,1]上的平均变化率
平均变化率 = $\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{4 - 0}{1} = 4$
步骤 4：求导数 $f'(x)$
$f'(x) = 12x^2$
步骤 5：根据拉格朗日中值定理，存在一个 $c \in (0,1)$ 使得 $f'(c) = 4$
$12c^2 = 4$
$c^2 = \frac{1}{3}$
$c = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
由于 $c$ 必须在区间 $(0,1)$ 内，我们取 $c = \frac{\sqrt{3}}{3}$。