平面 x - y - z + 8=0 与直线 {}x+y-5=0 mid 2x-z+5=0.的位置关系是（）A. 互相垂直B. 互相平行，直线不在平面上C. 直线在平面上D. 相交但不垂直

步骤 1：确定平面和平面的法向量
平面 $x - y - z + 8 = 0$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, -1, -1)$。
步骤 2：确定直线的方向向量
直线 $\left\{\begin{matrix}x+y-5=0\ \mid 2x-z+5=0\end{matrix}\right.$ 可以通过求解两个平面的法向量的叉积得到方向向量。两个平面的法向量分别为 $\vec{n_1} = (1, 1, 0)$ 和 $\vec{n_2} = (2, 0, -1)$。因此，直线的方向向量 $\vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (1, 1, 0) \times (2, 0, -1) = (1, 2, -2)$。
步骤 3：判断直线和平面的位置关系
判断直线和平面的位置关系，需要检查直线的方向向量 $\vec{d}$ 和平面的法向量 $\vec{n}$ 是否垂直。如果垂直，则直线和平面平行；如果不垂直，则直线和平面相交。这里，$\vec{d} \cdot \vec{n} = (1, 2, -2) \cdot (1, -1, -1) = 1 - 2 + 2 = 1 \neq 0$，所以直线和平面不垂直，即直线和平面相交。
步骤 4：判断直线是否在平面上
为了判断直线是否在平面上，需要检查直线上的一个点是否在平面上。取直线上的一个点，例如，当 $x = 0$ 时，$y = 5$，$z = 5$，代入平面方程 $x - y - z + 8 = 0$，得到 $0 - 5 - 5 + 8 = -2 \neq 0$，所以直线不在平面上。