题目

14.计算lim_(xto+infty)[(x^x+1)/((1+x)^x)-(x)/(e)].

14.计算$\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{x^{x+1}}{\left(1+x\right)^x}-\frac{x}{e}\right].$

题目解答

答案

为了计算极限 $\lim_{x\to+\infty}\left[\frac{x^{x+1}}{(1+x)^x}-\frac{x}{e}\right]$，我们首先需要简化表达式 $\frac{x^{x+1}}{(1+x)^x}$。我们可以将这个表达式重写为： \[ \frac{x^{x+1}}{(1+x)^x} = x \cdot \frac{x^x}{(1+x)^x} = x \left(\frac{x}{1+x}\right)^x. \] 接下来，我们需要分析 $\left(\frac{x}{1+x}\right)^x$ 当 $x \to +\infty$ 时的行为。注意到： \[ \frac{x}{1+x} = \frac{1}{\frac{1}{x}+1}. \] 因此， \[ \left(\frac{x}{1+x}\right)^x = \left(\frac{1}{\frac{1}{x}+1}\right)^x = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}. \] 我们知道，当 $x \to +\infty$ 时，$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x \to e$。因此， \[ \left(\frac{x}{1+x}\right)^x \to \frac{1}{e}. \] 这意味着： \[ x \left(\frac{x}{1+x}\right)^x \to x \cdot \frac{1}{e} = \frac{x}{e}. \] 所以，原极限可以重写为： \[ \lim_{x\to+\infty}\left[\frac{x^{x+1}}{(1+x)^x} - \frac{x}{e}\right] = \lim_{x\to+\infty}\left[x \left(\frac{x}{1+x}\right)^x - \frac{x}{e}\right]. \] 为了进一步简化，我们设 $y = \left(\frac{x}{1+x}\right)^x$。则 $y \to \frac{1}{e}$ 当 $x \to +\infty$。我们可以将极限重写为： \[ \lim_{x\to+\infty} x \left(y - \frac{1}{e}\right). \] 我们需要找到 $y - \frac{1}{e}$ 的更精确的表达式。取 $y$ 的自然对数，我们得到： \[ \ln y = x \ln \left(\frac{x}{1+x}\right) = x \ln \left(1 - \frac{1}{1+x}\right). \] 使用泰勒展开式 $\ln(1 - u) \approx -u - \frac{u^2}{2}$ 对于小的 $u$，我们有： \[ \ln \left(1 - \frac{1}{1+x}\right) \approx -\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2(1+x)^2}. \] 因此， \[ \ln y \approx x \left(-\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2(1+x)^2}\right) = -\frac{x}{1+x} - \frac{x}{2(1+x)^2}. \] 当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{x}{1+x} \approx 1$ 和 $\frac{x}{2(1+x)^2} \approx \frac{1}{2x}$。所以， \[ \ln y \approx -1 - \frac{1}{2x}. \] 对两边取指数，我们得到： \[ y \approx e^{-1 - \frac{1}{2x}} = \frac{1}{e} e^{-\frac{1}{2x}} \approx \frac{1}{e} \left(1 - \frac{1}{2x}\right). \] 因此， \[ y - \frac{1}{e} \approx \frac{1}{e} \left(1 - \frac{1}{2x}\right) - \frac{1}{e} = -\frac{1}{2ex}. \] 代回原极限，我们得到： \[ \lim_{x\to+\infty} x \left(y - \frac{1}{e}\right) \approx \lim_{x\to+\infty} x \left(-\frac{1}{2ex}\right) = \lim_{x\to+\infty} -\frac{1}{2e} = -\frac{1}{2e}. \] 所以，原极限的值是： \[ \boxed{-\frac{1}{2e}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数和对数展开的技巧。需要学生掌握以下知识点：

  1. 重要极限公式 $\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$；
  2. 泰勒展开的应用，尤其是对自然对数和指数函数的展开；
  3. 等价无穷小替换的灵活运用。

解题核心思路：
将原式拆分为两个部分，通过变形和展开，找到两者的高阶无穷小差异。关键在于对 $\left(\frac{x}{1+x}\right)^x$ 进行精确展开，从而得到原式中两个项的差值。

破题关键点：

  1. 将 $\frac{x^{x+1}}{(1+x)^x}$ 转化为 $x \cdot \left(\frac{x}{1+x}\right)^x$；
  2. 利用对数展开和泰勒公式，将 $\left(\frac{x}{1+x}\right)^x$ 近似为 $\frac{1}{e} \left(1 - \frac{1}{2x}\right)$；
  3. 通过差值计算，消去主部项，得到最终极限。

步骤1：化简原式
原式为：
$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{x^{x+1}}{(1+x)^x} - \frac{x}{e} \right]$
将第一项拆分为：
$\frac{x^{x+1}}{(1+x)^x} = x \cdot \frac{x^x}{(1+x)^x} = x \left( \frac{x}{1+x} \right)^x$

步骤2：分析 $\left( \frac{x}{1+x} \right)^x$ 的极限
注意到：
$\frac{x}{1+x} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$
因此：
$\left( \frac{x}{1+x} \right)^x = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x} \to \frac{1}{e} \quad (x \to +\infty)$
故第一项近似为：
$x \cdot \frac{1}{e} = \frac{x}{e}$

步骤3：展开 $\left( \frac{x}{1+x} \right)^x$ 的高阶项
取自然对数：
$\ln \left( \frac{x}{1+x} \right)^x = x \ln \left(1 - \frac{1}{1+x}\right)$
利用泰勒展开 $\ln(1 - u) \approx -u - \frac{u^2}{2}$（其中 $u = \frac{1}{1+x}$）：
$\ln \left(1 - \frac{1}{1+x}\right) \approx -\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2(1+x)^2}$
代入后化简：
$x \left( -\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2(1+x)^2} \right) \approx -1 - \frac{1}{2x}$
取指数得：
$\left( \frac{x}{1+x} \right)^x \approx \frac{1}{e} \left(1 - \frac{1}{2x}\right)$

步骤4：计算差值
原式可表示为：
$x \cdot \frac{1}{e} \left(1 - \frac{1}{2x}\right) - \frac{x}{e} = -\frac{1}{2e}$
因此，极限值为：
$\boxed{-\frac{1}{2e}}$