17. (4.0分) 由方程组}z=x^2+y^2x^2+2y^2+3z^2=20所确定的y(x)及z(x)的导数(dz)/(dx)=A. (y)/(1-3z)B. (x)/(1+3z)C. (y)/(1+3z)D. (x)/(1-3z)

本题考查隐函数求导的知识。解题思路是通过对方程组中的两个方程分别关于$x$求导，然后联立所得的导数方程，消去$\frac{dy}{dx}$，从而求出$\frac{dz}{dx}$。

步骤一、对方程组中的两个方程分别关于$x$求导

• 对$z = x^{2}+y^{2}$关于$x$求导：
  根据求导的加法法则$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，以及复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，可得：
  $\frac{dz}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(y^{2})$
  )
  因为$\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$，$\frac{d}{dx}(y^{2)=2y\cdot\frac{dy}{dx}$，所以$\frac{dz}{dx}=2x + 2y\cdot\frac{dy}{dx}$ ①。
• 对$x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=20$关于$x$求导：
  同样根据求导的加法法则，可得：
  $\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(2y^{2})+\frac{d}{dx}(3z^{2})=\frac{d}{dx}(20)$
  )
  因为$\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$，$\frac{d}{dx}(2y^{2})=2y\cdot\frac{dy}{dx}$，$\frac{d}{dx}(z^{2})=2z\cdot\frac{dz}{dx}$，$\frac{d}{dx}(20)=0$，所以$2x + 4y\cdot\frac{dy}{dx}+6z\cdot{dz}{dx}=0$ ②。

二、联立方程①②消去$\(\frac{dy}{dx}$)

由①式可得$2y\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}-2x$，即$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dz}{dx}-2x}{2y}$。
将$\(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dz}{dx}-2x}{2y}$)代入②式可得：
$2x + 2y\cdot\frac{\frac{dz}{dx}-2x}{2y}+3z\cdot\frac{dz}{dx}=0\$
化简可得：
$x+\frac{dz}{dx}-2x + 3z\cdot\frac{dz}{dx}=0$
进一步整理得：
$(1 + 3z)\frac{dz}{dx}=x$
解得：
$\frac{dz}{dx}=\frac{x}{1 + 3z}$