题目

如图,在矩形ABC D中,对角线AC,B D相交于点-|||-O,E是边AD的中点,若 =10, =2sqrt (5) ,则 BO=-|||-__ ,angle EBD 的大小约为 __ 度-|||-__ 分.(参考数据: tan (26)^circ 34'approx dfrac (1)(2))-|||-A E D-|||-B C

题目解答

答案

解析

本题主要考查矩形的性质、勾股定理以及三角函数的应用。解题思路如下：

  1. 求$BO$的长度：
    • 因为矩形的对角线相等且互相平分，在矩形$ABCD$中，$AC$和$BD$是对角线，且$AC = 10$。
    • 根据矩形对角线的性质可知$BO=\dfrac{1}{2}BD$，又因为$AC = BD$，所以$BO=\dfrac{1}{2}AC$。
    • 把$AC = 10$代入可得$BO=\dfrac{1}{2}\times10 = 5$。
  2. 求$\angle EBD$的度数：
    • 求$AD$的长度：
      • 在$Rt\triangle ADC$中，$\angle D = 90^{\circ}$，$AC = 10$，$DC = 2\sqrt{5}$。
      • 根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$AD=\sqrt{AC^{2}-DC^{2}}$。
      • 把$AC = 10$，$DC = 2\sqrt{5}$代入可得$AD=\sqrt{10^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{100 - 20}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
    • 判断$\triangle ABE$的形状：
      • 因为$E$是边$AD$的中点，所以$AE = DE=\dfrac{1}{2}AD$。
      • 把$AD = 4\sqrt{5}$代入可得$AE = DE = 2\sqrt{5}$。
      • 又因为在矩形$ABCD$中$AB = DC = 2\sqrt{5}$，所以$AE = AB$。
      • 在$\triangle ABE$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AE = AB$，所以$\triangle ABE$为等腰直角三角形。
      • 根据等腰直角三角形的性质，可得$\angle ABE = \angle AEB = 45^{\circ}$，则$\angle CBE = 90^{\circ}-\angle ABE = 90^{\circ}- 45^{\circ}=45^{\circ}$。
    • 求$\angle CBD$的度数：
      • 在$Rt\triangle BCD$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$CD = 2\sqrt{5}$，$BC = AD = 4\sqrt{5}$。
      • 根据正切函数的定义$\tan\alpha=\dfrac{对边}{邻边}$（其中$\alpha$为一个锐角），可得$\tan\angle CBD=\dfrac{CD}{BC}$。
      • 把$CD = 2\sqrt{5}$，$BC = 4\sqrt{5}$代入可得$\tan\angle CBD=\dfrac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}$。
      • 已知$\tan26^{\circ}34'\approx\dfrac{1}{2}$，所以$\angle CBD\approx26^{\circ}34'$。
    • 求$\angle EBD$的度数：
      • 因为$\angle EBD=\angle CBE-\angle CBD$，$\angle CBE = 45^{\circ}$，$\angle CBD\approx26^{\circ}34'$。
      • 所以$\angle EBD\approx45^{\circ}-26^{\circ}34' = 44^{\circ}60'-26^{\circ}34' = 18^{\circ}26'$。