21. (2.8分) 设随机变量X，Y相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则PX^2+Y^2leq1=（）A. 1/4B. 1/2C. (pi)/(8);D. (pi)/(4).

本题考查二维随机变量的概率计算，解题思路是先根据已知条件确定随机变量$X$，$Y$的联合概率密度函数，再通过二重积分计算$P\{X^{2}+Y^{2}\leq1\}$。

1. 确定随机变量$X$，$Y$的联合概率密度函数：
   已知随机变量$X$，$Y$相互独立，且都服从区间$(0,1)$上的均匀分布。
   根据均匀分布的概率密度函数公式，若随机变量$Z$服从区间$(a,b)$上的均匀分布，则其概率密度函数为$f_Z(z)=\begin{cases}\frac{1}{b - a},&a 所以$X$的概率密度函数为$f_X(x)=\begin{cases}1,&0 由于$X$，$Y$相互独立，根据独立随机变量的联合概率密度函数等于各随机变量概率密度函数的乘积，可得$X$，$Y$的联合概率密度函数为：
   $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\begin{cases}1,&0
2. 计算$P\{X^{2}+Y^{2}\leq1\}$：
   根据二维随机变量概率的计算公式$P\{(X,Y)\in D\}=\underset{D}{\iint}f(x,y)dxdy$，其中$D$为积分区域。
   本题中$D=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq1\}$，结合$f(x,y)$的取值范围，实际积分区域为$D_1=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq1,0 则$P\{X^{2}+Y^{2}\leq1\}=\underset{D_1}{\iint}f(x,y)dxdy=\underset{D_1}{\iint}1\cdot dxdy$。
   在极坐标下，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdr d\theta$，积分区域$D_1$可表示为$0\leq r\leq 1$，$0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}$。
   所以$\underset{D_1}{\iint}1\cdot dxdy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{1}r dr$。
   先计算内层积分$\int_{0}^{1}r dr$，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$）可得：
   $\int_{0}^{1}r dr=\left[\frac{1}{2}r^2\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\times(1^2 - 0^2)=\frac{1}{2}$
   再计算外层积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{1}r dr=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}d\theta$，可得：
   $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}d\theta=\frac{1}{2}\left[\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\times(\frac{\pi}{2} - 0)=\frac{\pi}{4}$