题目
设随机变量X的分布律为P(X=k)=a(lambda^k)/(k!)(k=0,1,2...),lambda >0，则a=()A. a=1B. a=lambdaC. a=(1)/(mathrm(e)^lambda)D. a=0
设随机变量$X$的分布律为$P(X=k)=a\frac{\lambda^k}{k!}(k=0,1,2\cdots),\lambda >0$，则$a=$()
A. $a=1$
B. $a=\lambda$
C. $a=\frac{1}{\mathrm{e}^\lambda}$
D. $a=0$
题目解答
答案
C. $a=\frac{1}{\mathrm{e}^\lambda}$
解析
步骤 1：理解分布律的性质
随机变量$X$的分布律$P(X=k)=a\frac{\lambda^k}{k!}$，其中$k=0,1,2,\cdots$，$\lambda >0$。根据概率分布律的性质，所有可能取值的概率之和必须等于1，即$\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$。
步骤 2：应用泊松分布的性质
注意到$P(X=k)=a\frac{\lambda^k}{k!}$的形式与泊松分布的概率质量函数$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}$相似。因此，可以推断出$a\frac{\lambda^k}{k!}$实际上是泊松分布的概率质量函数，其中$a$是待求的常数。
步骤 3：求解常数$a$
由于泊松分布的概率质量函数之和为1，即$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda} = 1$，因此$a\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = 1$。由于$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = \mathrm{e}^{\lambda}$，所以$a\mathrm{e}^{\lambda} = 1$，从而得到$a=\frac{1}{\mathrm{e}^{\lambda}}$。
随机变量$X$的分布律$P(X=k)=a\frac{\lambda^k}{k!}$，其中$k=0,1,2,\cdots$，$\lambda >0$。根据概率分布律的性质，所有可能取值的概率之和必须等于1，即$\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$。
步骤 2：应用泊松分布的性质
注意到$P(X=k)=a\frac{\lambda^k}{k!}$的形式与泊松分布的概率质量函数$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda}$相似。因此，可以推断出$a\frac{\lambda^k}{k!}$实际上是泊松分布的概率质量函数，其中$a$是待求的常数。
步骤 3：求解常数$a$
由于泊松分布的概率质量函数之和为1，即$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}\mathrm{e}^{-\lambda} = 1$，因此$a\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = 1$。由于$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = \mathrm{e}^{\lambda}$，所以$a\mathrm{e}^{\lambda} = 1$，从而得到$a=\frac{1}{\mathrm{e}^{\lambda}}$。