1.设f(x)在x=0处连续，则f(x)在x=0处可导的充分条件是（ ）A. lim_(xto0)(f(x)-f(-x))/(2x)存在.B. lim_(xto0)(f(ln(1+x^2))-f(0))/(x^2)存在.C. lim_(xto0)(f(x)-f(0))/(sqrt[3](x))存在.D. lim_(xtoinfty)xf((1)/(x))存在.

本题考查函数在某点可导的充分条件，解题的关键在于根据函数可导的定义$f^\prime(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$，对每个选项进行分析判断。

选项A

已知$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(-x)}{2x}$存在，设$g(x)=f(x)-f(-x)$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{g(x)}{2x}$存在。
根据导数定义，$f^\prime(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$，仅$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(-x)}{2x}$存在不能推出$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$存在。
例如$f(x)=\vert x\vert$，$\lim\limits_{x\to0}\frac{\vert x\vert-\vert -x\vert}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{0}{2x}=0$存在，但$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处不可导，因为$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\vert x\vert - \vert 0\vert}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{x}{x}=1$，$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{\vert x\vert - \vert 0\vert}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-x}{x}=-1$，左右导数不相等，所以选项A错误。

选项B

已知$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(\ln(1 + x^2)) - f(0)}{x^2}$存在，令$t = \ln(1 + x^2)$，当$x\to0$时，$t\to0$，且$x^2 = e^t - 1$。
则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(\ln(1 + x^2)) - f(0)}{x^2}=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(t) - f(0)}{e^t - 1}$。
根据等价无穷小$e^t - 1\sim t$（$t\to0$），所以$\lim\limits_{t\to0}\frac{f(t) - f(0)}{e^t - 1}=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(t) - f(0)}{t}$，这符合函数$f(x)$在$x = 0$处可导的定义$f^\prime(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$，所以选项B正确。

选项C

已知$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - f(0)}{\sqrt[3]{x}}$存在，设$y = \sqrt[3]{x}$，则$x = y^3$，当$x\to0$时，$y\to0$。
$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - f(0)}{\sqrt[3]{x}}=\lim\limits_{y\to0}\frac{f(y^3) - f(0)}{y}$，此极限存在不能推出$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$存在。
例如$f(x)=\begin{cases}1, & x = 0 \\ 0, & x\neq0\end{cases}$，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - f(0)}{\sqrt[3]{x}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{0 - 1}{\sqrt[3]{x}}$不存在，若考虑$f(x)=\vert x\vert^{\frac{4}{3}}$，$\lim\limits_{x\to0}\frac{\vert x\vert^{\frac{4}{3}} - 0}{\sqrt[3]{x}}=\lim\limits_{x\to0}\vert x\vert = 0$存在，但$f^\prime(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{\vert x\vert^{\frac{4}{3}} - 0}{x}$，当$x\to0^+$时，$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}x^{\frac{1}{3}} = 0$，当$x\to0^-$时，$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{(-x)^{\frac{4}{3}}}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}(-x)^{\frac{1}{3}} = 0$，虽然此例可导，但不能说明一般情况，所以选项C错误。

选项D

已知$\lim\limits_{x\to\infty}xf(\frac{1}{x})$存在，令$t = \frac{1}{x}$，当$x\to\infty$时，$t\to0$，则$\lim\limits_{x\to\infty}xf(\frac{1}{x})=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(t)}{t}$。
此极限存在不能推出$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$存在，因为$\lim\limits_{t\to0}\frac{f(t)}{t}$与$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$形式不同，缺少$f(0)$这一项，所以选项D错误。