设 A, B 为 n 阶矩阵，且 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，证明 } A & B O & B y = 0 同解.

我们要证明两个分块矩阵的齐次线性方程组同解： 设 $ A, B $ 是 $ n \times n $ 阶矩阵，且 $ Ax = 0 $ 与 $ Bx = 0 $ 同解。 我们要证明： $$ \begin{bmatrix} A & B \\ O & B \end{bmatrix} y = 0 \quad \text{与} \quad \begin{bmatrix} B & A \\ O & A \end{bmatrix} y = 0 $$ 同解。 --- ### 第一步：设 $ y = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} $，其中 $ x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n $ #### 对第一个矩阵方程： $$ \begin{bmatrix} A & B \\ O & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A x_1 + B x_2 \\ B x_2 \end{bmatrix} = 0 $$ 于是得到： 1. $ A x_1 + B x_2 = 0 $ 2. $ B x_2 = 0 $ 从第2式得：$ x_2 \in \text{Null}(B) $ 又因为 $ Ax = 0 $ 与 $ Bx = 0 $ 同解，所以 $ \text{Null}(A) = \text{Null}(B) $，因此 $ x_2 \in \text{Null}(A) $，即 $ A x_2 = 0 $ 代入第1式：$ A x_1 + B x_2 = 0 \Rightarrow A x_1 = -B x_2 $ 由于 $ B x_2 = 0 $，所以 $ A x_1 = 0 \Rightarrow x_1 \in \text{Null}(A) = \text{Null}(B) $ 所以： - $ x_1 \in \text{Null}(B) $ - $ x_2 \in \text{Null}(B) $ 即： $$ y = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \in \text{Null}(B) \times \text{Null}(B) $$ --- #### 对第二个矩阵方程： $$ \begin{bmatrix} B & A \\ O & A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B x_1 + A x_2 \\ A x_2 \end{bmatrix} = 0 $$ 于是得到： 1. $ B x_1 + A x_2 = 0 $ 2. $ A x_2 = 0 $ 从第2式得：$ x_2 \in \text{Null}(A) = \text{Null}(B) \Rightarrow B x_2 = 0 $ 代入第1式：$ B x_1 = -A x_2 = 0 \Rightarrow x_1 \in \text{Null}(B) $ 所以： - $ x_1 \in \text{Null}(B) $ - $ x_2 \in \text{Null}(B) $ 即： $$ y = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \in \text{Null}(B) \times \text{Null}(B) $$ --- ### 第二步：结论 两个方程的解集都是： $$ \left\{ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \mid x_1, x_2 \in \text{Null}(B) \right\} $$ 因此，两个方程同解。 --- ### ✅ 最终答案： $$ \boxed{ \begin{bmatrix} A & B \\ O & B \end{bmatrix} y = 0 \quad \text{与} \quad \begin{bmatrix} B & A \\ O & A \end{bmatrix} y = 0 \quad \text{同解} } $$