18.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标。设这个质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。试求 X 的分布函数。

考查要点：本题主要考查连续型随机变量分布函数的求解，重点在于理解概率与区间长度的正比例关系，并利用归一性条件确定比例系数。

解题核心思路：

1. 根据题意，质点落在任意小区间内的概率与区间长度成正比，说明概率密度函数是常数。
2. 分布函数$F(x)$是概率密度函数的积分，需分段讨论$x$的不同取值范围。
3. 利用总概率为1的条件，确定比例系数$k$的值。

破题关键点：

• 正比例关系对应概率密度函数$f(x) = k$（在区间$[0,a]$内）。
• 积分$\int_{0}^{a} k \, dx = 1$求得$k = \frac{1}{a}$。
• 分布函数需分$x < 0$、$0 \leq x \leq a$、$x > a$三段表达。

步骤1：确定概率密度函数

根据题意，质点落在区间$[0,a]$内任意小区间$[x, x+\Delta x]$的概率为$k \Delta x$，因此概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases}k, & 0 \leq x \leq a, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

步骤2：归一性条件求比例系数

总概率为1，即：
$\int_{0}^{a} k \, dx = ka = 1 \implies k = \frac{1}{a}.$

步骤3：积分求分布函数

分布函数$F(x) = P(X \leq x)$为概率密度函数的积分：

1. 当$x < 0$时：$F(x) = 0$。
2. 当$0 \leq x \leq a$时：
   $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{a} \, dt = \frac{x}{a}.$
3. 当$x > a$时：$F(x) = 1$。