题目
24、 单选 设S是曲线L: -|||-C +y+z=dfrac {3)(2)-|||-D x+y+z=2
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转面的方程
曲线L绕z轴旋转形成的旋转面方程为$z = -x^2 - y^2 + 1$。这是因为旋转面的方程是将曲线L的方程中的$x$替换为$\sqrt{x^2 + y^2}$，即$z = -(\sqrt{x^2 + y^2})^2 + 1 = -x^2 - y^2 + 1$。
步骤 2：求旋转面的法向量
旋转面的方程为$F(x, y, z) = z + x^2 + y^2 - 1 = 0$。旋转面在点$(x_0, y_0, z_0)$处的法向量为$\nabla F = (2x_0, 2y_0, 1)$。
步骤 3：确定切平面的法向量
切平面与平面$x + y + z = 1$平行，因此切平面的法向量为$(1, 1, 1)$。由于切平面的法向量与旋转面的法向量平行，我们有$(2x_0, 2y_0, 1) = k(1, 1, 1)$，其中$k$为比例系数。由此可得$2x_0 = k$，$2y_0 = k$，$1 = k$。解得$x_0 = \frac{1}{2}$，$y_0 = \frac{1}{2}$，$z_0 = -x_0^2 - y_0^2 + 1 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{2}$。
步骤 4：确定切平面方程
切平面的方程为$x + y + z = x_0 + y_0 + z_0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。
曲线L绕z轴旋转形成的旋转面方程为$z = -x^2 - y^2 + 1$。这是因为旋转面的方程是将曲线L的方程中的$x$替换为$\sqrt{x^2 + y^2}$，即$z = -(\sqrt{x^2 + y^2})^2 + 1 = -x^2 - y^2 + 1$。
步骤 2：求旋转面的法向量
旋转面的方程为$F(x, y, z) = z + x^2 + y^2 - 1 = 0$。旋转面在点$(x_0, y_0, z_0)$处的法向量为$\nabla F = (2x_0, 2y_0, 1)$。
步骤 3：确定切平面的法向量
切平面与平面$x + y + z = 1$平行，因此切平面的法向量为$(1, 1, 1)$。由于切平面的法向量与旋转面的法向量平行，我们有$(2x_0, 2y_0, 1) = k(1, 1, 1)$，其中$k$为比例系数。由此可得$2x_0 = k$，$2y_0 = k$，$1 = k$。解得$x_0 = \frac{1}{2}$，$y_0 = \frac{1}{2}$，$z_0 = -x_0^2 - y_0^2 + 1 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{2}$。
步骤 4：确定切平面方程
切平面的方程为$x + y + z = x_0 + y_0 + z_0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。