实对称矩阵的秩等于它的()。A. 非零特征值的个数B. 阶数C. 迹D. 行列式

本题考查实对称矩阵的基本性质，关键是明确秩与与特征值的关系。大、实对称矩阵的可对角化特性。

核心知识点

实对称矩阵具有以下重要性质：

1. 可对角化性质：实对称矩阵必可正交相似对角化，即存在存在正交矩阵$P$，使得$P^TAP=\Lambda$，其中$\Lambda$是由$A$的特征值构成的对角矩阵。
2. 秩的关系：矩阵的秩等于其对角标准形（或相似标准形）中非零元素的个数。对于对角矩阵$\Lambda$，非零元素即非零特征值，因此实对称矩阵的秩等于其非零特征值的个数。

选项分析

• A. 非零特征值的个数：符合上述性质，正确。
• B. 阶数：仅当矩阵可逆（行列式非零）时，秩才等于阶数，错误。
• C. 迹：迹等于特征值之和，与秩与迹无直接等价关系（如$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$的迹为1，秩为1，迹为1仅为特例，不普遍成立，错误。
• D. 行列式：行列式等于特征值之积，仅当行列式非零时秩等于阶数，否则秩小于阶，错误。