2.求下列微分方程满足所给初值条件的特解:-|||-(1) '=(e)^2x-y, (|)_(x=0)=0;

考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，以及如何利用初始条件确定特解中的常数。

解题核心思路：

1. 分离变量：将方程改写为仅含$y$的项和仅含$x$的项分别位于等式两边。
2. 积分求解：对两边分别积分，得到通解表达式。
3. 代入初始条件：通过给定的初始条件$y|_{x=0}=0$，确定积分常数，最终得到特解。

破题关键点：

• 正确分离变量：将$e^{2x-y}$拆分为$e^{2x} \cdot e^{-y}$，从而分离出$e^y dy$和$e^{2x} dx$。
• 积分时注意常数项：积分后需引入常数$C$，并通过初始条件确定其值。

步骤1：分离变量
原方程为：
$y' = e^{2x - y}$
将方程改写为：
$\frac{dy}{dx} = e^{2x} \cdot e^{-y}$
分离变量得：
$e^y \, dy = e^{2x} \, dx$

步骤2：积分求解
对两边分别积分：
$\int e^y \, dy = \int e^{2x} \, dx$
计算得：
$e^y = \frac{1}{2} e^{2x} + C$
（左边积分结果为$e^y$，右边积分结果为$\frac{1}{2}e^{2x}$，加上常数$C$）

步骤3：代入初始条件
当$x=0$时，$y=0$，代入上式：
$e^0 = \frac{1}{2} e^{0} + C \implies 1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + C \implies C = \frac{1}{2}$
因此方程变为：
$e^y = \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{2} = \frac{e^{2x} + 1}{2}$

步骤4：解出$y$
对两边取自然对数：
$y = \ln \left( \frac{e^{2x} + 1}{2} \right)$