求微分方程 (2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0 的通解.

考查要点：本题主要考查将非齐次微分方程转化为齐次方程的方法，以及利用变量替换法求解齐次方程的能力。

解题核心思路：

1. 识别方程类型：原方程属于可化为齐次方程的类型，需通过平移变换消除常数项。
2. 确定平移量：通过解线性方程组找到平移量$h$和$k$，使方程转化为齐次形式。
3. 变量替换：令$Y = uX$，将方程转化为关于$u$和$X$的可分离变量方程。
4. 积分求解：分离变量后积分，回代变量得到通解。

破题关键点：

• 平移变换：通过$h$和$k$消去原方程中的常数项。
• 齐次方程识别：替换后方程需满足齐次方程的结构，即所有项为同次齐次式。
• 变量替换技巧：通过$Y = uX$简化方程，分离变量后积分。

步骤1：确定平移量$h$和$k$

令$x = X + h$，$y = Y + k$，代入原方程：
$\begin{aligned}M &= 2(X + h) + (Y + k) - 4 = 2X + Y + (2h + k - 4), \\N &= (X + h) + (Y + k) - 1 = X + Y + (h + k - 1).\end{aligned}$
要求平移后方程中常数项为0，解方程组：
$\begin{cases}2h + k - 4 = 0, \\h + k - 1 = 0.\end{cases}$
解得$h = 3$，$k = -2$。

步骤2：变量替换与方程转化

令$x = X + 3$，$y = Y - 2$，原方程变为：
$(2X + Y) \, dX + (X + Y) \, dY = 0.$
整理为齐次方程形式：
$\frac{dX}{dY} = -\frac{2X + Y}{X + Y}.$

步骤3：变量替换$Y = uX$

令$Y = uX$，则$dY = u \, dX + X \, du$，代入方程得：
$\frac{dX}{dY} = -\frac{2 + u}{1 + u} \implies \frac{dX}{dY} = -\frac{2 + u}{1 + u}.$
分离变量：
$-\frac{1 + u}{u^2 + 2u + 2} \, du = \frac{dX}{X}.$

步骤4：积分求解

积分两边：
$-\int \frac{1 + u}{u^2 + 2u + 2} \, du = \int \frac{1}{X} \, dX.$
左边积分通过换元$t = u^2 + 2u + 2$，得：
$-\frac{1}{2} \ln|u^2 + 2u + 2| = \ln X + C.$
整理为：
$X^2 (u^2 + 2u + 2) = C.$

步骤5：回代变量并整理

将$u = \frac{Y}{X}$代入，得：
$Y^2 + 2XY + 2X^2 = C.$
回代$X = x - 3$，$Y = y + 2$，整理得通解：
$2x^2 + 2xy + y^2 - 8x - 2y = C.$