证明u(x,y)=(x-y)(x^2+4 xy+y^2)u(x,y)=(x-y)(x^2+4 xy+y^2)u(x,y)=(x-y)(x^2+4 xy+y^2)

步骤 1：展开函数 $u(x,y)$
将 $u(x,y)$ 展开为多项式形式，以便于后续求偏导数。
步骤 2：求 $u(x,y)$ 的偏导数
分别求 $u(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的一阶偏导数。
步骤 3：求 $u(x,y)$ 的二阶偏导数
分别求 $u(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的二阶偏导数。
步骤 4：验证调和函数
验证 $\dfrac{{\partial}^{2}u}{\partial{x}^{2}} + \dfrac{{\partial}^{2}u}{\partial{y}^{2}} = 0$，以证明 $u(x,y)$ 是调和函数。
步骤 5：求共轭调和函数 $v(x,y)$
利用柯西-黎曼方程求解 $v(x,y)$。
步骤 6：确定常数 $C$
利用条件 $f(i) = -1$ 确定 $v(x,y)$ 中的常数 $C$。
步骤 7：写出解析函数 $f(z)$
将 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 组合成解析函数 $f(z)$。