题目

设A,B均为n阶可逆矩阵,证明: (AB)^*=B^*A^*

设A,B均为n阶可逆矩阵,证明: (AB)^*=B^*A^*

题目解答

答案

证:A,B可逆,由逆矩阵的性质知AB可逆,那么根据 xX^*=|X|r X为n阶可逆矩阵)有(AB)(AB)^*=|AB|I 所以(AB)^*=(AB)^(-1)|AB|I=|AB|(AB)^(-1) =|A||B|B^(-1)A^(-1)=|B|B^(-1)|A|A^(-1)|=|B|(B^-)/(|B|)|A|(A^*)/(|A|)=B^*A^*

解析

考查要点：本题主要考查伴随矩阵的性质及逆矩阵的运算规律，需要结合行列式的乘积性质进行推导。

解题核心思路：

  1. 利用伴随矩阵的定义式 $X X^* = |X|I$（其中 $X$ 为可逆矩阵），将 $(AB)^*$ 表示为 $|AB|(AB)^{-1}$。
  2. 结合逆矩阵的运算规律 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ 和行列式的乘积性质 $|AB| = |A||B|$，逐步展开并化简表达式。
  3. 最终通过代数变形，验证 $(AB)^*$ 与 $B^*A^*$ 的等价性。

破题关键点：

  • 正确应用伴随矩阵的定义式，将问题转化为行列式与逆矩阵的运算。
  • 注意逆矩阵的运算顺序，即 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。
  • 灵活运用行列式的乘积性质，将 $|AB|$ 分解为 $|A||B|$。

证明过程：

  1. 根据伴随矩阵的定义，对可逆矩阵 $AB$，有：
    $(AB)(AB)^* = |AB|I$
    因此可得：
    $(AB)^* = |AB|(AB)^{-1}$

  2. 展开逆矩阵和行列式：

    • 逆矩阵的运算规律：$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
    • 行列式的乘积性质：$|AB| = |A||B|$
      代入上式得：
      $(AB)^* = |A||B| \cdot B^{-1}A^{-1}$

  3. 分解为 $B^*A^*$ 的形式：

    • 根据伴随矩阵的定义，$B^* = |B|B^{-1}$，$A^* = |A|A^{-1}$
    • 因此：
      $B^*A^* = |B|B^{-1} \cdot |A|A^{-1} = |A||B| \cdot B^{-1}A^{-1}$

  4. 比较两边表达式：
    由步骤 2 和 3 可知：
    $(AB)^* = |A||B| \cdot B^{-1}A^{-1} = B^*A^*$
    故原式得证。