题目
6.已知随机变量X的密度函数为 (x)=dfrac (1)(2)(e)^-|x|, -infty lt xlt +infty , 求X的分布函数F (x).
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义分布函数
分布函数F(x)定义为随机变量X小于等于x的概率，即 $F(x) = P(X \leq x)$。对于连续型随机变量，分布函数可以通过密度函数的积分来计算，即 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$。
步骤 2：分段计算分布函数
由于密度函数 $f(x)=\dfrac {1}{2}{e}^{-|x|}$ 在 $x < 0$ 和 $x \geq 0$ 时有不同的形式，我们需要分段计算分布函数。
- 当 $x < 0$ 时，$f(x) = \dfrac{1}{2}e^{x}$，因此 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} \dfrac{1}{2}e^{t} dt$。
- 当 $x \geq 0$ 时，$f(x) = \dfrac{1}{2}e^{-x}$，因此 $F(x) = \int_{-\infty}^{0} \dfrac{1}{2}e^{t} dt + \int_{0}^{x} \dfrac{1}{2}e^{-t} dt$。
步骤 3：计算积分
- 当 $x < 0$ 时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} \dfrac{1}{2}e^{t} dt = \dfrac{1}{2}e^{t} \Big|_{-\infty}^{x} = \dfrac{1}{2}e^{x}$。
- 当 $x \geq 0$ 时，$F(x) = \int_{-\infty}^{0} \dfrac{1}{2}e^{t} dt + \int_{0}^{x} \dfrac{1}{2}e^{-t} dt = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}(-e^{-t}) \Big|_{0}^{x} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}(1 - e^{-x}) = 1 - \dfrac{1}{2}e^{-x}$。
分布函数F(x)定义为随机变量X小于等于x的概率，即 $F(x) = P(X \leq x)$。对于连续型随机变量，分布函数可以通过密度函数的积分来计算，即 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$。
步骤 2：分段计算分布函数
由于密度函数 $f(x)=\dfrac {1}{2}{e}^{-|x|}$ 在 $x < 0$ 和 $x \geq 0$ 时有不同的形式，我们需要分段计算分布函数。
- 当 $x < 0$ 时，$f(x) = \dfrac{1}{2}e^{x}$，因此 $F(x) = \int_{-\infty}^{x} \dfrac{1}{2}e^{t} dt$。
- 当 $x \geq 0$ 时，$f(x) = \dfrac{1}{2}e^{-x}$，因此 $F(x) = \int_{-\infty}^{0} \dfrac{1}{2}e^{t} dt + \int_{0}^{x} \dfrac{1}{2}e^{-t} dt$。
步骤 3：计算积分
- 当 $x < 0$ 时，$F(x) = \int_{-\infty}^{x} \dfrac{1}{2}e^{t} dt = \dfrac{1}{2}e^{t} \Big|_{-\infty}^{x} = \dfrac{1}{2}e^{x}$。
- 当 $x \geq 0$ 时，$F(x) = \int_{-\infty}^{0} \dfrac{1}{2}e^{t} dt + \int_{0}^{x} \dfrac{1}{2}e^{-t} dt = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}(-e^{-t}) \Big|_{0}^{x} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}(1 - e^{-x}) = 1 - \dfrac{1}{2}e^{-x}$。