题目
5.设矩阵 =a(a)^T+b(b)^T, 这里a,b为n维列向量,证明:-|||-(1) (A)leqslant 2.-|||-(2)当a,b线性相关时, (A)leqslant 1.
题目解答
答案
解析
步骤 1：矩阵秩的性质
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的最大数目。对于矩阵 $A=a{a}^{T}+b{b}^{T}$，其中 $a$ 和 $b$ 是 $n$ 维列向量，我们首先利用矩阵秩的性质来分析 $A$ 的秩。
步骤 2：利用秩的性质进行推导
根据矩阵秩的性质，对于两个矩阵 $X$ 和 $Y$，有 $R(X+Y) \leq R(X) + R(Y)$。因此，对于矩阵 $A=a{a}^{T}+b{b}^{T}$，我们有 $R(A) = R(a{a}^{T} + b{b}^{T}) \leq R(a{a}^{T}) + R(b{b}^{T})$。由于 $a{a}^{T}$ 和 $b{b}^{T}$ 都是秩为 1 的矩阵（因为它们都是由一个列向量和它的转置相乘得到的），所以 $R(a{a}^{T}) \leq 1$ 和 $R(b{b}^{T}) \leq 1$。因此，$R(A) \leq 1 + 1 = 2$。
步骤 3：线性相关时的秩
当 $a$ 和 $b$ 线性相关时，存在一个常数 $\lambda$ 使得 $b = \lambda a$。此时，$A = a{a}^{T} + b{b}^{T} = a{a}^{T} + \lambda^2 a{a}^{T} = (1 + \lambda^2) a{a}^{T}$。由于 $a{a}^{T}$ 的秩为 1，所以 $A$ 的秩也最多为 1。
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的最大数目。对于矩阵 $A=a{a}^{T}+b{b}^{T}$，其中 $a$ 和 $b$ 是 $n$ 维列向量，我们首先利用矩阵秩的性质来分析 $A$ 的秩。
步骤 2：利用秩的性质进行推导
根据矩阵秩的性质，对于两个矩阵 $X$ 和 $Y$，有 $R(X+Y) \leq R(X) + R(Y)$。因此，对于矩阵 $A=a{a}^{T}+b{b}^{T}$，我们有 $R(A) = R(a{a}^{T} + b{b}^{T}) \leq R(a{a}^{T}) + R(b{b}^{T})$。由于 $a{a}^{T}$ 和 $b{b}^{T}$ 都是秩为 1 的矩阵（因为它们都是由一个列向量和它的转置相乘得到的），所以 $R(a{a}^{T}) \leq 1$ 和 $R(b{b}^{T}) \leq 1$。因此，$R(A) \leq 1 + 1 = 2$。
步骤 3：线性相关时的秩
当 $a$ 和 $b$ 线性相关时，存在一个常数 $\lambda$ 使得 $b = \lambda a$。此时，$A = a{a}^{T} + b{b}^{T} = a{a}^{T} + \lambda^2 a{a}^{T} = (1 + \lambda^2) a{a}^{T}$。由于 $a{a}^{T}$ 的秩为 1，所以 $A$ 的秩也最多为 1。