题目

设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示．(1)求a的值；(2)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．

设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示．
(1)求a的值；
(2)将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．

题目解答

答案

(1)由于α1＝(1，0，1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(1，3，5)T不能由β1＝(1，1，1)T，β2＝(1，2，3)T，β3＝(3，4，a)T线性表出，所以β1，β2，β3线性相关(因为任意n+1个n维向量线性相关，从而β1，β2，β3，αi(i=1，2，3)线性相关，若β1，β2，β3线性无关，则αi可由β1，β2，β3线性表示，从而|β1，β2，β3|=0，而|β1，β2，β3|＝
.
113
124
13a
.
＝
.
113
011
02a−3
.
＝a−5，故可解得a=5
(2)设(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)A，由于|α1，α2，α3|＝
.
101
013
115
.
＝1≠0，所以α1，α2，α3线性无关．则A＝(α1，α2，α3)−1(β1，β2，β3)
而(α1，α2，α3)−1＝
21−1
34−3
−1−11
，从而A＝
21−1
34−3
−1−11
113
124
135
＝
215
4210
−10−2

因此β1=2α1+4α2-α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2-2α3．

解析

步骤 1：确定向量组线性相关性
由于α_1，α_2，α_3不能由β_1，β_2，β_3线性表示，所以β_1，β_2，β_3线性相关。这意味着β_1，β_2，β_3，α_i(i=1，2，3)线性相关，从而β_1，β_2，β_3线性相关，即|β_1，β_2，β_3|=0。
步骤 2：计算行列式
计算行列式|β_1，β_2，β_3|，即
|β_1，β_2，β_3|＝
.
1
1
3
1
2
4
1
3
a
.
＝
.
1
1
3
0
1
1
0
2
a−3
.
＝a−5
步骤 3：求解a的值
由于β_1，β_2，β_3线性相关，所以|β_1，β_2，β_3|=0，即a−5=0，解得a=5。
步骤 4：将β_1，β_2，β_3用α_1，α_2，α_3线性表示
设(β_1，β_2，β_3)=(α_1，α_2，α_3)A，由于|α_1，α_2，α_3|＝
.
1
0
1
0
1
3
1
1
5
.
＝1≠0，所以α_1，α_2，α_3线性无关。则A＝(α_1，α_2，α_3)^{-1}(β_1，β_2，β_3)。
步骤 5：计算A
计算A＝(α_1，α_2，α_3)^{-1}(β_1，β_2，β_3)＝
2
1
−1
3
4
−3
−1
−1
1
1
1
3
1
2
4
1
3
5
＝
2
1
5
4
2
10
−1
0
−2
步骤 6：将β_1，β_2，β_3用α_1，α_2，α_3线性表示
根据A的计算结果，β_1=2α_1+4α_2-α_3，β_2=α_1+2α_2，β_3=5α_1+10α_2-2α_3。