设f(x)、g(x)都是可导函数，且|f'(x)|＜g'(x)，证明当x＞a时 |f(x)-f(a)|＜g(x)-g(a)．

考查要点：本题主要考查导数与函数单调性的关系，以及如何利用导数条件构造辅助函数来证明不等式。

解题核心思路：

1. 拆解绝对值条件：将|f'(x)| < g'(x)拆分为f'(x) < g'(x)和-f'(x) < g'(x)，分别对应两种情况。
2. 构造辅助函数：通过定义h(x) = f(x) + g(x)和k(x) = f(x) - g(x)，分析它们的单调性。
3. 利用单调性推导不等式：根据导数符号确定辅助函数的单调性，进而得到原函数的不等式关系。

破题关键点：

• 导数条件转化为单调性：通过导数的正负判断函数的增减趋势。
• 绝对值不等式的拆分：将绝对值不等式拆分为两个方向的不等式，分别对应辅助函数的单调性。

步骤1：构造辅助函数
定义两个辅助函数：

• h(x) = f(x) + g(x)
• k(x) = f(x) - g(x)

步骤2：分析导数符号

1. 对h(x)求导：
   $h'(x) = f'(x) + g'(x)$
   根据题设|f'(x)| < g'(x)，无论f'(x)正负，均有：
   $f'(x) + g'(x) > 0$
   因此，h(x)在x > a时单调递增。

2. 对k(x)求导：
   $k'(x) = f'(x) - g'(x)$
   根据题设|f'(x)| < g'(x)，可得：
   $f'(x) - g'(x) < 0$
   因此，k(x)在x > a时单调递减。

步骤3：利用单调性推导不等式

1. 对于h(x)：
   由于h(x)单调递增，当x > a时，
   $h(x) > h(a) \implies f(x) + g(x) > f(a) + g(a)$
   整理得：
   $f(x) - f(a) < g(x) - g(a)$

2. 对于k(x)：
   由于k(x)单调递减，当x > a时，
   $k(x) < k(a) \implies f(x) - g(x) < f(a) - g(a)$
   整理得：
   $-(g(x) - g(a)) < f(x) - f(a)$

步骤4：综合结果
结合上述两式，可得：
$-(g(x) - g(a)) < f(x) - f(a) < g(x) - g(a)$
即：
$|f(x) - f(a)| < g(x) - g(a)$