题目
15、填空 设∑是球面x^2+y^2+z^2=4的外侧，且z≥0，则曲面积分(1)/(pi)intint_(Sigma)yzdzdx+2dxdy=____.
15、填空 设∑是球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$的外侧，且z≥0，则曲面积分$\frac{1}{\pi}\int\int_{\Sigma}yzdzdx+2dxdy=$____.
题目解答
答案
将曲面积分转换为三重积分，利用高斯公式：
\[
\iint_{\Sigma} yz \, dz \, dx + 2 \, dx \, dy = \iiint_{V} z \, dV - \iint_{\Sigma_1} 2 \, dx \, dy
\]
其中，$V$ 为上半球体，$\Sigma_1$ 为底面圆盘（向下侧）。
计算三重积分：
\[
\iiint_{V} z \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} r^3 \cos \theta \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi = 4\pi
\]
计算底面积分：
\[
\iint_{\Sigma_1} 2 \, dx \, dy = -8\pi
\]
总积分：
\[
4\pi - (-8\pi) = 12\pi
\]
答案：
\[
\boxed{12}
\]