设x,y为实数,则f(x,y)=x^2+4xy+5y^2-2y+2的最小值()。A. 1B. 1/2C. 2D. 3/2E. 3

考查要点：本题主要考查二元二次函数的最小值求解，需要运用配方法或求导法将函数转化为平方项之和，从而确定最小值。

解题核心思路：
通过配方将函数表达式分解为多个平方项的和，利用平方项的非负性，确定最小值出现的条件。关键在于正确处理交叉项（如$xy$项）并逐步配方。

破题关键点：

1. 处理$x$项：将$x^2 + 4xy$配成$(x + 2y)^2 - 4y^2$，消去交叉项。
2. 处理剩余$y$项：将剩余的$y^2 - 2y + 2$进一步配方为$(y - 1)^2 + 1$。
3. 综合结果：最终表达式为两个平方项之和加1，最小值为1。

步骤1：处理$x$项
将$x^2 + 4xy$配方：
$x^2 + 4xy = (x + 2y)^2 - 4y^2.$
代入原函数：
$f(x,y) = (x + 2y)^2 - 4y^2 + 5y^2 - 2y + 2 = (x + 2y)^2 + y^2 - 2y + 2.$

步骤2：处理$y$项
将$y^2 - 2y + 2$配方：
$y^2 - 2y + 2 = (y - 1)^2 + 1.$
因此，函数可化简为：
$f(x,y) = (x + 2y)^2 + (y - 1)^2 + 1.$

步骤3：确定最小值
由于平方项非负，当且仅当：
$\begin{cases}x + 2y = 0, \\y - 1 = 0,\end{cases}$
解得$y = 1$，$x = -2$。此时$f(x,y) = 0 + 0 + 1 = 1$，即最小值为1。