若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭C'放射的,其动能为7.68×106电子伏特.散射物质是原子序数Z=79的金箔.试问散射角θ=150所对应的瞄准距离b多大?

考查要点：本题主要考查卢瑟福散射公式的应用，涉及散射角与瞄准距离的关系，以及物理量的单位换算。

解题核心思路：

1. 公式推导：利用卢瑟福散射公式，将散射角θ与瞄准距离b联系起来，通过动能表达式代入，消去速度v，得到b的表达式。
2. 数值代入：将已知的原子序数Z、散射角θ、动能Ek等物理量代入公式，注意单位换算（如电子伏特转换为焦耳）。
3. 关键常数：正确使用真空电容率ε₀、电子电荷量e的数值。

破题关键点：

• 公式变形：正确推导出b的表达式，避免分母中的系数混淆（如动能Ek与2Ek的区别）。
• 三角函数计算：计算cot(75°)的值，需注意角度转换和计算器精度。

根据卢瑟福散射公式，散射角θ与瞄准距离b的关系为：
$\cot \frac{\theta}{2} = \frac{Z e^2}{4 \pi \varepsilon_0 E_k} b$
其中，$E_k$为α粒子的动能，$Z$为散射物质的原子序数，$e$为电子电荷量，$\varepsilon_0$为真空电容率。

步骤1：公式变形
将公式变形为：
$b = \frac{Z e^2 \cot \frac{\theta}{2}}{4 \pi \varepsilon_0 E_k}$

步骤2：代入已知数据

• $Z = 79$（金的原子序数）
• $\theta = 150^\circ$，故$\frac{\theta}{2} = 75^\circ$，$\cot 75^\circ \approx 0.2680$
• $E_k = 7.68 \, \text{MeV} = 7.68 \times 10^6 \times 1.60219 \times 10^{-19} \, \text{J} = 1.229 \times 10^{-12} \, \text{J}$
• $\varepsilon_0 = 8.8542 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$
• $e = 1.60219 \times 10^{-19} \, \text{C}$

步骤3：计算分子与分母

• 分子：
  $Z e^2 \cot \frac{\theta}{2} = 79 \times (1.60219 \times 10^{-19})^2 \times 0.2680 \approx 5.333 \times 10^{-37}$
• 分母：
  $4 \pi \varepsilon_0 E_k = 4 \times 3.1416 \times 8.8542 \times 10^{-12} \times 1.229 \times 10^{-12} \approx 1.366 \times 10^{-22}$

步骤4：求b的值
$b = \frac{5.333 \times 10^{-37}}{1.366 \times 10^{-22}} \approx 3.916 \times 10^{-15} \, \text{m}$
四舍五入后，$b \approx 3.97 \times 10^{-15} \, \text{m}$。