题目
212 设y_(1)(x)与y_(2)(x)是二阶线性微分方程y^primeprime+py^prime+qy=f(x)的两个解，y_(2)(x)与y_(4)(x)是二阶线性微分方程y^primeprime+py^prime+qy=g(x)的两个解，则下列函数中，一定是二阶线性微分方程y^primeprime+py^prime+qy=f(x)-g(x)的解的是 (A.)y_(1)(x)-2y_(2)(x)+2y_(3)(x)-y_(4)(x). (B.)2y_(1)(x)-y_(2)(x)+y_(1)(x)-2y_(4)(x). (C.)2y_(1)(x)-y_(2)(x)+2y_(3)(x)-y_(4)(x). (D.)y_(1)(x)-2y_(2)(x)+y_(3)(x)-2y_(4)(x).
212 设$y_{1}(x)$与$y_{2}(x)$是二阶线性微分方程$y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=f(x)$的两个解，$y_{2}(x)$与$y_{4}(x)$是二阶线性微分方程$y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=g(x)$的两个解，则下列函数中，一定是二阶线性微分方程$y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=f(x)-g(x)$的解的是 (
A.)$y_{1}(x)-2y_{2}(x)+2y_{3}(x)-y_{4}(x)$. (
B.)$2y_{1}(x)-y_{2}(x)+y_{1}(x)-2y_{4}(x)$. (
C.)$2y_{1}(x)-y_{2}(x)+2y_{3}(x)-y_{4}(x)$. (
D.)$y_{1}(x)-2y_{2}(x)+y_{3}(x)-2y_{4}(x)$.
A.)$y_{1}(x)-2y_{2}(x)+2y_{3}(x)-y_{4}(x)$. (
B.)$2y_{1}(x)-y_{2}(x)+y_{1}(x)-2y_{4}(x)$. (
C.)$2y_{1}(x)-y_{2}(x)+2y_{3}(x)-y_{4}(x)$. (
D.)$y_{1}(x)-2y_{2}(x)+y_{3}(x)-2y_{4}(x)$.
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要使用二阶线性微分方程的解的性质。具体来说，如果 $ y_1(x) $ 和 $ y_2(x) $ 是方程 $ y'' + py' + qy = f(x) $ 的解，那么它们的任何线性组合 $ c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) $ 也是该方程的解，如果 $ c_1 + c_2 = 1 $。同样，如果 $ y_3(x) $ 和 $ y_4(x) $ 是方程 $ y'' + py' + qy = g(x) $ 的解，那么它们的任何线性组合 $ c_3 y_3(x) + c_4 y_4(x) $ 也是该方程的解，如果 $ c_3 + c_4 = 1 $。
我们正在寻找的方程是 $ y'' + py' + qy = f(x) - g(x) $。如果 $ y_p(x) $ 是 $ y'' + py' + qy = f(x) $ 的解，而 $ y_q(x) $ 是 $ y'' + py' + qy = g(x) $ 的解，那么 $ y_p(x) - y_q(x) $ 是 $ y'' + py' + qy = f(x) - g(x) $ 的解。
给定 $ y_1(x) $ 和 $ y_2(x) $ 是 $ y'' + py' + qy = f(x) $ 的解，我们可以写 $ y_p(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) $ 与 $ c_1 + c_2 = 1 $。同样，给定 $ y_3(x) $ 和 $ y_4(x) $ 是 $ y'' + py' + qy = g(x) $ 的解，我们可以写 $ y_q(x) = c_3 y_3(x) + c_4 y_4(x) $ 与 $ c_3 + c_4 = 1 $。
因此，$ y_p(x) - y_q(x) = (c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)) - (c_3 y_3(x) + c_4 y_4(x)) $ 是 $ y'' + py' + qy = f(x) - g(x) $ 的解。
现在，让我们检查每个选项：
(A) $ y_1(x) - 2y_2(x) + 2y_3(x) - y_4(x) $
这里，$ c_1 = 1 $，$ c_2 = -2 $，$ c_3 = 2 $，和 $ c_4 = -1 $。我们有 $ c_1 + c_2 = 1 - 2 = -1 $ 和 $ c_3 + c_4 = 2 - 1 = 1 $。由于 $ c_1 + c_2 \neq 1 $，这不是一个解。
(B) $ 2y_1(x) - y_2(x) + y_1(x) - 2y_4(x) $
这里，$ c_1 = 3 $，$ c_2 = -1 $，$ c_3 = 0 $，和 $ c_4 = -2 $。我们有 $ c_1 + c_2 = 3 - 1 = 2 $ 和 $ c_3 + c_4 = 0 - 2 = -2 $。由于 $ c_1 + c_2 \neq 1 $ 和 $ c_3 + c_4 \neq 1 $，这不是一个解。
(C) $ 2y_1(x) - y_2(x) + 2y_3(x) - y_4(x) $
这里，$ c_1 = 2 $，$ c_2 = -1 $，$ c_3 = 2 $，和 $ c_4 = -1 $。我们有 $ c_1 + c_2 = 2 - 1 = 1 $ 和 $ c_3 + c_4 = 2 - 1 = 1 $。由于 $ c_1 + c_2 = 1 $ 和 $ c_3 + c_4 = 1 $，这是一个解。
(D) $ y_1(x) - 2y_2(x) + y_3(x) - 2y_4(x) $
这里，$ c_1 = 1 $，$ c_2 = -2 $，$ c_3 = 1 $，和 $ c_4 = -2 $。我们有 $ c_1 + c_2 = 1 - 2 = -1 $ 和 $ c_3 + c_4 = 1 - 2 = -1 $。由于 $ c_1 + c_2 \neq 1 $ 和 $ c_3 + c_4 \neq 1 $，这不是一个解。
因此，正确答案是 $\boxed{C}$。
解析
考查要点：本题主要考查二阶线性非齐次微分方程解的叠加性质。关键在于理解特解的叠加以及齐次解的线性组合对非齐次项的影响。
解题核心思路：
- 特解的叠加：若$y_p$是$y''+py'+qy=f(x)$的特解，$y_q$是$y''+py'+qy=g(x)$的特解，则$y_p - y_q$是$y''+py'+qy=f(x)-g(x)$的特解。
- 齐次解的组合：齐次方程$y''+py'+qy=0$的通解是其两个线性无关解的线性组合（系数和为1）。
破题关键：将选项中的表达式拆分为$f(x)$和$g(x)$对应部分的线性组合，验证各部分的系数和是否为1。
选项分析
选项C：$2y_1(x) - y_2(x) + 2y_3(x) - y_4(x)$
- 拆分表达式：
- $f(x)$部分：$2y_1(x) - y_2(x)$，系数和为$2 + (-1) = 1$，满足特解叠加条件。
- $g(x)$部分：$2y_3(x) - y_4(x)$，系数和为$2 + (-1) = 1$，满足特解叠加条件。
- 整体组合：$[2y_1 - y_2] - [2y_3 - y_4]$，对应$y''+py'+qy = f(x) - g(x)$的特解。
其他选项验证（简要）
- 选项A：系数和为$1-2=-1$（不满足）。
- 选项B：系数和为$3-1=2$（不满足）。
- 选项D：系数和为$1-2=-1$（不满足）。