1、外语学院开设三门第二外语选修课：德语、法语和西班牙语、据统计，有28%的学生选修了德语，有26%的学生选修了法语，有16%的学生选修了西班牙语.有12%的学生选修了德语和法语，6%的学生选修了德语和西班牙语，有4%的学生选修了法语和西班牙语，又已知有2%的学生三门都选修了.（1）随机选一位学生，求该生没有选修以上三门第二外语的概率；（2）随机选一位学生，求该生只选修其中一门第二外语的概率；（3）随机选两位学生，求其中至少有一位选修第二外语的概率.2、 一次聚会中至少要多少人，才能使得至少有两个人的生肖是一样的概率达到50%

1. 第一题分析
本题考查概率的容斥原理和事件的独立性。

• （1）问：求没有选修任何课程的概率，需先计算至少选修一门的概率，再用补集思想求解。
• （2）问：求只选修一门的概率，需分别计算仅选德语、法语、西班牙语的人数百分比，再求和。
• （3）问：涉及独立事件的概率，需计算两位学生中至少一位选修的概率，可用补集思想简化计算。

2. 第二题分析
本题是经典的生日问题的变形（生肖共有12种可能）。需找到最小人数$n$，使得至少两人生肖相同的概率$\geq50\%$。关键公式为：
$P(n) = 1 - \frac{12}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{10}{12} \cdots \frac{12 - n + 1}{12}$
通过计算或查表可知，当$n=23$时概率首次超过50%。

第一题

（1）没有选修以上三门的概率

1. 至少选修一门的概率：
   根据容斥原理：
   $\begin{aligned} P(\text{至少一门}) &= P(D) + P(F) + P(S) \\ &\quad - P(D \cap F) - P(D \cap S) - P(F \cap S) \\ &\quad + P(D \cap F \cap S) \\ &= 0.28 + 0.26 + 0.16 - 0.12 - 0.06 - 0.04 + 0.02 \\ &= 0.5 \end{aligned}$
2. 没有选修的概率：
   $P(\text{没有选修}) = 1 - P(\text{至少一门}) = 1 - 0.5 = 0.5$

（2）只选修其中一门的概率

1. 仅选德语：
   $P(\text{仅德语}) = P(D) - P(D \cap F) - P(D \cap S) + P(D \cap F \cap S) = 0.28 - 0.12 - 0.06 + 0.02 = 0.12$
2. 仅选法语：
   $P(\text{仅法语}) = P(F) - P(D \cap F) - P(F \cap S) + P(D \cap F \cap S) = 0.26 - 0.12 - 0.04 + 0.02 = 0.12$
3. 仅选西班牙语：
   $P(\text{仅西班牙语}) = P(S) - P(D \cap S) - P(F \cap S) + P(D \cap F \cap S) = 0.16 - 0.06 - 0.04 + 0.02 = 0.08$
4. 总概率：
   $P(\text{只选一门}) = 0.12 + 0.12 + 0.08 = 0.32$

（3）至少一位选修第二外语的概率

1. 两人都没有选修的概率：
   $P(\text{两人都没选}) = (0.5)^2 = 0.25$
2. 至少一位选修的概率：
   $P(\text{至少一位}) = 1 - P(\text{两人都没选}) = 1 - 0.25 = 0.75$

第二题

关键公式：
$P(n) = 1 - \frac{12!}{(12 - n)! \cdot 12^{n-1}}}$
通过计算或查表可知，当$n=23$时，概率首次超过50%。