判断下面的序列是否是周期的；若是周期的，确定其周期。(1) x(n) = A cos ( (3)/(7) pi n - (pi)/(8) )A 是常数(2) x(n) = e^j ( (1)/(8) n - pi )

我们来逐题分析这两个离散时间序列是否是周期的，如果是，求出其周期。注意：这里 $ n $ 是整数变量，表示离散时间序列。

第(1)题：

$x(n) = A \cos \left( \frac{3}{7} \pi n - \frac{\pi}{8} \right)$

其中 $ A $ 是常数。

解题思路：

对于离散时间余弦序列：

$x(n) = \cos(\omega n + \phi)$

它是周期序列的充要条件是：角频率 $ \omega $ 与 $ 2\pi $ 的比值是有理数，即：

$\frac{\omega}{2\pi} = \frac{m}{N} \quad \text{（其中 $ m, N $ 为整数）}$

此时，序列的周期为最小的正整数 $ N $，使得：

$x(n + N) = x(n) \quad \text{对所有 } n \text{ 成立}$

步骤 1：提取角频率 $ \omega $

原式：

$x(n) = A \cos\left( \frac{3}{7} \pi n - \frac{\pi}{8} \right)$

所以角频率为：

$\omega = \frac{3}{7} \pi$

步骤 2：判断 $ \frac{\omega}{2\pi} $ 是否为有理数

计算：

$\frac{\omega}{2\pi} = \frac{\frac{3}{7} \pi}{2\pi} = \frac{3}{14}$

这是一个有理数（3 和 14 都是整数），所以该序列是周期序列。

步骤 3：求最小正周期 $ N $

周期 $ N $ 是使得：

$\omega N = 2\pi k \quad \text{（k 为整数）}$

即：

$\frac{3}{7} \pi \cdot N = 2\pi k \Rightarrow \frac{3}{7} N = 2k \Rightarrow N = \frac{14k}{3}$

要使 $ N $ 为正整数，最小的 $ k $ 应使得 $ \frac{14k}{3} $ 为整数。

令 $ k = 3 $，则：

$N = \frac{14 \times 3}{3} = 14$

检查更小的 $ k $：

• $ k = 1 $: $ N = 14/3 \approx 4.67 $，不是整数
• $ k = 2 $: $ N = 28/3 \approx 9.33 $，不是整数
• $ k = 3 $: $ N = 14 $，是整数

所以最小正周期为：

$\boxed{N = 14}$

验证：

检查 $ x(n + 14) \stackrel{?}{=} x(n) $

$x(n + 14) = A \cos\left( \frac{3}{7} \pi (n + 14) - \frac{\pi}{8} \right) = A \cos\left( \frac{3}{7} \pi n + \frac{3}{7} \pi \cdot 14 - \frac{\pi}{8} \right) = A \cos\left( \frac{3}{7} \pi n + 6\pi - \frac{\pi}{8} \right)$

由于 $ \cos(\theta + 6\pi) = \cos \theta $（因为余弦函数周期为 $ 2\pi $，$ 6\pi = 3 \times 2\pi $）

所以：

$x(n + 14) = A \cos\left( \frac{3}{7} \pi n - \frac{\pi}{8} \right) = x(n)$

验证成立。

✅ 第(1)题结论：

是周期序列，周期为：

$\boxed{14}$

第(2)题：

$x(n) = e^{j} \left( \frac{1}{8} n - \pi \right)$

这个表达式写法有些歧义。根据数学惯例，指数函数应为：

$x(n) = e^{j \left( \frac{1}{8} n - \pi \right)}$

否则 $ e^j $ 是一个复常数（$ e^j \approx \cos 1 + j \sin 1 $），再乘以括号内容，就变成线性函数，不可能是周期的。

但结合上下文（判断周期性），应理解为：

$x(n) = \exp\left[ j \left( \frac{1}{8} n - \pi \right) \right] = e^{j \left( \frac{1}{8} n - \pi \right)}$

这是标准的复指数序列。

解题思路：

复指数序列：

$x(n) = e^{j(\omega n + \phi)}$

是周期序列的充要条件是：角频率 $ \omega $ 与 $ 2\pi $ 的比值是有理数，即：

$\frac{\omega}{2\pi} \in \mathbb{Q}$

步骤 1：提取角频率 $ \omega $

$x(n) = e^{j \left( \frac{1}{8} n - \pi \right)} = e^{j \cdot \frac{1}{8} n} \cdot e^{-j\pi}$

所以角频率为：

$\omega = \frac{1}{8}$

（注意：这里是 $ \frac{1}{8} $ 弧度，不是 $ \frac{1}{8}\pi $）

步骤 2：判断 $ \frac{\omega}{2\pi} $ 是否为有理数

$\frac{\omega}{2\pi} = \frac{1/8}{2\pi} = \frac{1}{16\pi}$

注意：$ \pi $ 是无理数，所以 $ \frac{1}{16\pi} $ 是无理数。

因此，该序列不是周期序列。

补充说明：

周期要求存在正整数 $ N $，使得：

$x(n + N) = x(n) \quad \forall n \Rightarrow e^{j \omega (n + N)} = e^{j \omega n} \Rightarrow e^{j \omega N} = 1 \Rightarrow \omega N = 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \frac{\omega}{2\pi} = \frac{k}{N}$

即 $ \frac{\omega}{2\pi} $ 必须是有理数。

而这里：

$\frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{16\pi} \notin \mathbb{Q}$

所以不存在这样的整数 $ N $，序列不是周期的。

✅ 第(2)题结论：

不是周期序列。

最终答案：

(1) 是周期序列，周期为 $ \boxed{14} $

(2) 不是周期序列。